Considere em R^3 o produto interno:
lang<=(x1, y1, z1),(x2, y2, z2)rang<==x1 cdot x2+5 y1 cdot y2+2 z1 cdot z2
A partir da base B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) de R^3 encontre uma base ortonormal de R^3.

Passo 1

O enunciado define em R^3 o produto interno
lang<=(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)rang<= = x1x2 + 5y1y2 + 2z1z2
e nos pede uma base ortonormal a partir da base canônica
;B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
Para isso vamos usar que, se os vetores de B já são mutuamente ortogonais segundo esse produto, basta normalizá-los dividindo cada um pela sua norma.

Passo 2

Verificamos que os vetores de B são ortogonais entre si:
lang<=(1,0,0),(0,1,0)rang<= = 1cdot0 + 5cdot0cdot1 + 2cdot0cdot0 = 0,
lang<=(1,0,0),(0,0,1)rang<= = 0, lang<=(0,1,0),(0,0,1)rang<= = 0

Passo 3

Calculamos as normas segundo o produto interno dado:
|(1,0,0)| = raizlang<=(1,0,0),(1,0,0)rang<= = raiz1,
|(0,1,0)| = raizlang<=(0,1,0),(0,1,0)rang<= = raiz5,
|(0,0,1)| = raizlang<=(0,0,1),(0,0,1)rang<= = raiz2

Passo 4

Normalizamos cada vetor dividindo pela respectiva norma:
e1 = (1,0,0)raiz1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0)raiz5 = l(0,tfrac1raiz5,0r), e3 = (0,0,1)raiz2 = l(0,0,tfrac1raiz2r)

Resposta

A base ortonormal de R^3 é
l(1,0,0),;(0,tfrac1raiz5,0),;(0,0,tfrac1raiz2)r

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