Seja
. Encontre uma base para o subespaço vetorial
.
Passo 1
O enunciado nos dá o vetor
em
e pede uma base de seu subespaço ortogonal
, ou seja, o conjunto de todos os vetores
tais que o produto escalar
. Vamos usar a condição de ortogonalidade para encontrar essa base.
Passo 2
Escrevemos a condição de ortogonalidade:
Logo todo
satisfaz
Passo 3
Da equação
temos
. Assim um vetor genérico em
é
Podemos separar os parâmetros
e
:
Passo 4
Os vetores
e
são claramente linearmente independentes e geram todo
. Portanto eles formam uma base de
.
Resposta
A base escolhida para
é