Seja u=(1,0,-2) in R^3. Encontre uma base para o subespaço vetorial u^perp.

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor u=(1,0,-2) em R^3 e pede uma base de seu subespaço ortogonal u^perp, ou seja, o conjunto de todos os vetores v=(x,y,z) tais que o produto escalar ucdot v=0. Vamos usar a condição de ortogonalidade para encontrar essa base.

Passo 2

Escrevemos a condição de ortogonalidade:
ucdot v = (1,0,-2)cdot(x,y,z) = 1cdot x + 0cdot y + (-2)cdot z = x - 2z = 0
Logo todo vin u^perp satisfaz
x - 2z = 0

Passo 3

Da equação x-2z=0 temos x=2z. Assim um vetor genérico em u^perp é
v = (x,y,z) = (2z,,y,,z)
Podemos separar os parâmetros y e z:
v = y,(0,1,0) ;+; z,(2,0,1)

Passo 4

Os vetores (0,1,0) e (2,0,1) são claramente linearmente independentes e geram todo u^perp. Portanto eles formam uma base de u^perp.

Resposta

A base escolhida para u^perp é
(0,1,0),;(2,0,1)

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