Considere em R^3 o produto interno:
lang<=(x1, y1, z1),(x2, y2, z2)rang<==x1 cdot x2+5 y1 cdot y2+2 z1 cdot z2
A partir da base B=(1,0,-2) de R^3 encontre uma base para o subespaço vetorial u^perp.

Passo 1

O enunciado dá o espaço R^3 com o produto interno
lang<=(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)rang<= = x1x2 + 5y1y2 + 2z1z2
e a base B=u com u=(1,0,-2). Queremos achar uma base de
u^perp = vinR^3 mid lang<= u,vrang<= = 0

Passo 2

Seja v=(x,y,z). A condição de ortogonalidade lang<= u,vrang<==0 é
lang<= (1,0,-2),(x,y,z)rang<= = 1cdot x + 5cdot 0cdot y + 2cdot(-2)cdot z = x - 4z = 0

Passo 3

A equação x - 4z = 0 x=4z. Logo os vetores de u^perp têm forma
v = (x,y,z) = (4z,y,z) = y,(0,1,0) ;+; z,(4,0,1)

Passo 4

Os vetores (0,1,0) e (4,0,1) geram todo u^perp e são linearmente independentes. Verificamos também que
lang<=(0,1,0),(4,0,1)rang<= = 0cdot4 + 5cdot1cdot0 +2cdot0cdot1 = 0,
ou seja, eles são mutuamente ortogonais.

Resposta

Uma base de u^perp para o produto interno dado é
(0,1,0),;(4,0,1)

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