Sendo A, B in Mm times n(R), assinale a alternativa que corresponde a forma simplificada da seguinte expressão:
3(2 A^T-B+2 A)^T+5(15 B^T-15 A^T+35 B)^T-6 A^T-12(A^T+B^T)^T
a. 12 A+B
b. 5 A+B
c. 0
d. A+B
e. 92 A+12 B
f. A+12 B
g. 12 A+12 B
5)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão envolvendo as matrizes A e B e várias transposições:
3l(2A^T-B+2Ar)^T +5l(tfrac15B^T-tfrac15A^T+tfrac35Br)^T -6A^T -tfrac12l(A^T+B^Tr)^T
O conteúdo principal é usar a linearidade do operador transposta, isto é,
(X+Y)^T=X^T+Y^T, (alpha X)^T=alpha X^T, (X^T)^T=X

Passo 2

Aplicando (cdot)^T na primeira parcela:
3l(2A^T-B+2Ar)^T =3l(2(A^T)^T-B^T+2A^Tr) =3l(2A - B^T +2A^Tr) =6A -3B^T +6A^T

Passo 3

Aplicando (cdot)^T na segunda parcela:
5l(tfrac15B^T-tfrac15A^T+tfrac35Br)^T =5l(tfrac15B -tfrac15A +tfrac35B^Tr) =B - A +3B^T

Passo 4

Aplicando (cdot)^T na última parcela:
-tfrac12l(A^T+B^Tr)^T =-tfrac12l(A + Br) =-tfrac12 A -tfrac12 B

Passo 5

Agora somamos todas as parcelas:
underbrace(6A -3B^T +6A^T)Passo 2 +underbrace(B - A +3B^T)Passo 3 underbrace-6A^Tdado underbrace-tfrac12 A -tfrac12 BPasso 4
Reunindo termos iguais:
  • Em A: 6A - A -tfrac12 A = tfrac92A.
  • Em A^T: 6A^T-6A^T=0.
  • Em B: B -tfrac12 B = tfrac12 B.
  • Em B^T: -3B^T+3B^T=0.
Logo a expressão se reduz a
92A + 12 B

Resposta

92A + 12 B (alternativa e)

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