Considere em
a reta
de equação
(a) Indique dois planos cuja interseção seja a reta
.
(b) Determine todos os pares de planos cuja interseção seja a reta
.
(b) Determine todos os pares de planos cuja interseção seja a reta
Passo 1
O enunciado pede para achar dois planos em
cuja interseção seja a reta
dada por
. O conteúdo é geometria analítica de retas e planos: vamos usar a forma paramétrica da reta, o fato de que um plano contém uma reta se contém um ponto da reta e seu vetor diretor é ortogonal ao normal do plano, e depois achar a forma geral de todos os planos que passam por
.
Passo 2
Primeiro identificamos um ponto da reta e seu vetor diretor. Tomemos
(quando
) e o vetor diretor
.
Passo 3
Para que um plano de equação
contenha
, ele deve satisfazer dois requisitos: o vetor normal
deve ser ortogonal a
, isto é
, e deve passar por
, isto é
, de onde
.
Passo 4
(a) Uma escolha simples de dois normais ortogonais a
e independentes é:
e
.
O primeiro plano fica
O primeiro plano fica
e o segundo plano fica
Logo, dois planos cuja interseção é
são
Passo 5
(b) Em geral, todo plano que contém
tem normal
satisfazendo
e coeficiente independente
Assim a família de todos os planos que contêm
é dada por
com
. Dois desses planos se intersectam em
exatamente quando seus normais
e
não são proporcionais (isto é, são linearmente independentes).
Resposta
(a) Por exemplo:
(b) Todos os pares de planos
com
intersectam-se na reta