Considere em R^3 a reta r de equação
(x, y, z)=(1,1,1)+lambda(2,0,3) (lambda in R)
(a) Indique dois planos cuja interseção seja a reta r.
(b) Determine todos os pares de planos cuja interseção seja a reta r.

Passo 1

O enunciado pede para achar dois planos em R^3 cuja interseção seja a reta r dada por (x,y,z)=(1,1,1)+lambda(2,0,3). O conteúdo é geometria analítica de retas e planos: vamos usar a forma paramétrica da reta, o fato de que um plano contém uma reta se contém um ponto da reta e seu vetor diretor é ortogonal ao normal do plano, e depois achar a forma geral de todos os planos que passam por r.

Passo 2

Primeiro identificamos um ponto da reta e seu vetor diretor. Tomemos P0=(1,1,1) (quando lambda=0) e o vetor diretor v=(2,0,3).

Passo 3

Para que um plano de equação pi:;A x + B y + C z + D = 0 contenha r, ele deve satisfazer dois requisitos: o vetor normal n=(A,B,C) deve ser ortogonal a v, isto é ncdot v=2A+3C=0, e deve passar por P0, isto é Acdot1+Bcdot1+Ccdot1+D=0, de onde D=-(A+B+C).

Passo 4

(a) Uma escolha simples de dois normais ortogonais a v e independentes é:
n1=(0,1,0) e n2=(3,0,-2).
O primeiro plano fica
y-1=0,
e o segundo plano fica
3(x-1)-2(z-1)=0
Logo, dois planos cuja interseção é r são
pi1:;y=1,
pi2:;3x-2z-1=0

Passo 5

(b) Em geral, todo plano que contém r tem normal n=(A,B,C) satisfazendo
2A+3C=0
e coeficiente independente
D=-(A+B+C)
Assim a família de todos os planos que contêm r é dada por
A x + B y + C z - (A+B+C)=0,
com 2A+3C=0. Dois desses planos se intersectam em r exatamente quando seus normais (A1,B1,C1) e (A2,B2,C2) não são proporcionais (isto é, são linearmente independentes).

Resposta

(a) Por exemplo:
y=1e3x-2z-1=0
(b) Todos os pares de planos
Ai x+Bi y+Ci z-(Ai+Bi+Ci)=0, i=1,2,
com
2Ai+3Ci=0e(A1,B1,C1)notparal<=l(A2,B2,C2)
intersectam-se na reta r.

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