Seja alpha:] a, b[ R^3 uma curva suave, regular e parametrizada por comprimento de arco, com o traço contido numa superfície esférica centrada na origem. Suponha que a torção de alpha não se anula. Designe por k(t) e por tau(t) a curvatura e a torção de alpha no instante t, respetivamente. Mostre que:
(a) Para todo o t in] a, b[, tem-se
alpha(t)=-1k(t) N(t)+k^prime(t)k^2(t) tau(t) B(t)
(b) A função t in] a, b[mapsto 1k^2(t)+(k^prime(t)tau(t) k^2(t))^2 é constante.

Passo 1

O enunciado diz que α:(a,b)toR^3 é suave, regular, parametrizada por comprimento de arco (logo |α'(t)|=1) e o traço de α fica numa esfera centrada na origem. Como a esfera tem equação |α(t)|^2=R^2 constante, vamos usar isso junto com as fórmulas de Frenet para mostrar (a) e depois (b).

Passo 2

Como |α(t)|^2=R^2 fixo temos
ddt(α(t)cdot α(t))=2,α'(t)cdot α(t)=0.
Mas α'(t)=T(t), então
T(t)cdot α(t)=0
e, ao derivar de novo,
ddt(Tcdot α)=T'cdot α + Tcdot α'=0.
Como T'=kN e α'=T, dá
k(t),N(t)cdot α(t) + T(t)cdot T(t)=0 k(t)(αcdot N) +1=0.
Logo
α(t)cdot N(t)=-1k(t).

Passo 3

Sabendo que α é ortogonal a T e projetando em N e B, escrevemos
α(t)=A(t),N(t)+C(t),B(t).
Já temos A(t)=αcdot N=-1/k(t). Para achar C(t)=αcdot B, derivamos:
(αcdot N)'=α'cdot N + αcdot N'=Tcdot N + αcdot(-kT+τB)=0 + τ(t),(αcdot B)=τ(t),C(t).
Mas (αcdot N)'=( -1/k )' = k'(t)/k^2(t). Logo
k'(t)/k^2(t)=τ(t),C(t) C(t)=k'(t)τ(t),k^2(t).
Assim chegamos a
α(t)=-1k(t),N(t)+k'(t)τ(t),k^2(t),B(t)
que é o que queríamos em (a).

Passo 4

Para (b), basta usar que α(t) está na esfera de raio R, ou seja, |α(t)|^2=R^2 constante. Pela expressão de (a) temos
|α(t)|^2=l(-1kr)^2+l(k'τ,k^2r)^2=1k^2(t)+l(k'(t)τ(t),k^2(t)r)^2
Como isso vale =R^2 para todo t, concluímos que a função
tmapsto1k^2(t)+l(k'(t)τ(t),k^2(t)r)^2
é constante, provando (b).

Resposta

(a) α(t)=-1k(t)N(t)+k'(t)τ(t),k^2(t)B(t)
(b) A função tmapsto1k^2(t)+l(k'(t)τ(t),k^2(t)r)^2 é constante (igual a R^2).

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