Seja
uma curva suave, regular e parametrizada por comprimento de arco, com o traço contido numa superfície esférica centrada na origem. Suponha que a torção de
não se anula. Designe por
e por
a curvatura e a torção de
no instante
, respetivamente. Mostre que:
(a) Para todo o
, tem-se
(b) A função
é constante.
(a) Para todo o
Passo 1
O enunciado diz que
é suave, regular, parametrizada por comprimento de arco (logo
) e o traço de
fica numa esfera centrada na origem. Como a esfera tem equação
constante, vamos usar isso junto com as fórmulas de Frenet para mostrar (a) e depois (b).
Passo 2
Como
fixo temos
Mas
, então
e, ao derivar de novo,
Como
e
, dá
Logo
Passo 3
Sabendo que
é ortogonal a
e projetando em
e
, escrevemos
Já temos
. Para achar
, derivamos:
Mas
. Logo
Assim chegamos a
que é o que queríamos em (a).
Passo 4
Para (b), basta usar que
está na esfera de raio
, ou seja,
constante. Pela expressão de (a) temos
Como isso vale
para todo
, concluímos que a função
é constante, provando (b).
Resposta
(a)
(b) A função é constante (igual a
).
(b) A função