Para cada uma das seguintes funções, determine o domínio (quando este não é indicado, entende-se o maior subconjunto de R onde a expressão que define a função tem sentido), os pontos em que a função é contínua e os pontos em que é derivável:
(a) c(t)=(raizt-1, raiz2-t);
(b) c(t)=(raiz[3]t, 1t, e^-t);
© c(t)=(cos t, sen t,[t]);
(d) c(t)=(t^2, 2 t, log t).

Passo 1

O enunciado pede para cada função vetorial determinar o domínio, os pontos de continuidade e os pontos de derivabilidade. O conteúdo principal é analisar componente a componente, lembrando que um vetor é contínuo (ou derivável) exatamente onde todas as suas componentes o forem.
Para resolver usamos que: 1) o domínio é o maior conjunto de t em ℝ onde cada expressão faz sentido; 2) a função vetor é contínua se e só se todas as componentes são contínuas; 3) análogo para derivabilidade.

Passo 2

Para (a) c(t)=(√(t−1),√(2−t)): cada raiz exige t−1≥0 e 2−t≥0, ou seja t∈[1,2]. Como √x é contínua em [0,∞), c é contínua em [1,2]. A derivada de √x existe para x>0, mas em x=0 ela diverge. Logo c é derivável apenas em (1,2).

Passo 3

Para (b) c(t)=(∛t,1/t,e^{−t}): a raiz cúbica e o exponencial valem para todo t, mas 1/t exige t≠0. Assim domínio ℝ{0}. Cada componente é contínua e derivável em seu domínio, de modo que c é contínua e derivável em ℝ{0}.

Passo 4

Para © c(t)=(cos t,sen t,[t]): domínio ℝ pois cos, sen e piso valem para todo t. cos t e sen t são contínuos e deriváveis em ℝ; [t] (piso) é contínuo e derivável apenas em t∉ℤ (é constante entre inteiros, com salto em cada inteiro). Logo c é contínua e derivável em ℝ\ℤ.

Passo 5

Para (d) c(t)=(t²,2t,log t): t² e 2t valem em todo ℝ, mas log t exige t>0. Então domínio (0,∞). Cada componente é contínua e derivável em (0,∞), logo c também o é nesse intervalo.

Resposta

(a) Domínio [1,2]; contínua em [1,2]; derivável em (1,2).
(b) Domínio ℝ{0}; contínua em ℝ{0}; derivável em ℝ{0}.
© Domínio ℝ; contínua em ℝ\ℤ; derivável em ℝ\ℤ.
(d) Domínio (0,∞); contínua em (0,∞); derivável em (0,∞).

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