Considere em R^3 os subespaços U e V gerados pelos vetores descritos abaixo
U=[(1,1,1),(0,3,3)] e V=[(0,1,2),(0,2,1)]
(a) Cada um dos subespaços acima corresponde a um plano em R^3, encontre as equações destes planos.
(b) Encontre um conjunto de geradores para U cap V.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de gerados por
e
.
Precisamos (a) escrever as equações dos planos que esses subespaços determinam e (b) achar geradores de . Para isso usaremos produto vetorial para obter normais e resolver sistema para a interseção.

Passo 2

Para achar a equação do plano U, calculamos um vetor normal nU fazendo o produto vetorial entre os geradores:
nU ;=;(1,1,1)times(0,3,3) ;=;l| i&j&k 1&1&1 0&3&3 r| ;=;(0,,-3,,3)
Como o plano passa pela origem, sua equação é
nUcdot(x,y,z)=0 ;Longrightarrow; 0cdot x-3y+3z=0 ;Longrightarrow; y-z=0

Passo 3

Para o plano V, fazemos o mesmo com seus geradores (0,1,2) e (0,2,1):
nV ;=;(0,1,2)times(0,2,1) ;=;l| i&j&k 0&1&2 0&2&1 r| ;=;(-3,,0,,0)
Logo a equação de V é
nVcdot(x,y,z)=0 ;Longrightarrow; -3x=0 ;Longrightarrow; x=0

Passo 4

Para UcapV precisamos de vetores (x,y,z) que pertencem a U e satisfaçam x=0.
Em U, um vetor genérico é
alpha(1,1,1)+beta(0,3,3)=(alpha,;alpha+3beta,;alpha+3beta)
Impondo x=alpha=0 vem
(0,;3beta,;3beta) =3beta,(0,1,1)
Assim todo vetor da interseção é múltiplo de (0,1,1).

Resposta

(a) Equação de :
Equação de :
(b)

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