Um conjunto u, v, w formado por 3 vetores em R^3 é L.I. se o sistema (com 3 equações e 3 variáveis) formado pela equação vetorial
x cdot u+y cdot v+z cdot w=0
possui apenas a solução trivial (x, y, z)=(0,0,0). Usando o Exercício 2, mostre que o conjunto u, v, w é L.I. se, e somente se, a matriz A, 3 times 3, formada pelas coordenadas dos vetores é invertível. Conclua que o conjunto u, v, w forma uma base do R^3 se, e somente se, A possui determinante não nulo. Generalize para n vetores em R^n.

Passo 1

O enunciado afirma que um conjunto u,v,wsubsetR^3 é linearmente independente (L.I.) se o sistema vetorial
x,u + y,v + z,w = 0
só tiver a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0). Queremos relacionar isso com a invertibilidade de uma matriz A 3times3 cujas colunas são as coordenadas de u,v,w.

Passo 2

Escrevendo em coordenadas como
definimos
Então a equação vetorial
é equivalente ao sistema matricial

Passo 3

Pelo Exercício 2 sabemos que, para uma matriz quadrada A, ter núcleo trivial
ker(A)=0
é exatamente a condição de A ser invertível. Desta forma
u,v,w é LI Long<=ftrightarrow A só admite a solução trivial Long<=ftrightarrow A é invertível éóçãéí

Passo 4

Um conjunto de três vetores L.I. em R^3 automaticamente gera todo o espaço (pois dimR^3=3), ou seja, forma uma base de R^3. Por outro lado, uma matriz quadrada 3times3 é invertível se, e somente se, o seu determinante for não nulo. Portanto
u,v,w é base de R^3 Long<=ftrightarrow A é invertível Long<=ftrightarrow det(A)neq 0 ééí

Passo 5

O mesmo raciocínio vale em geral para n vetores em R^n. Seja u1,dots,uninR^n e A a matriz ntimes n cujas colunas são esses vetores. Então
u1,dots,un é LI Long<=ftrightarrow A é invertível Long<=ftrightarrow det(A)neq 0, ééí
e como dimR^n=n, ter n vetores L.I. implica automaticamente que formam uma base.

Resposta

Mostramos que u,v,w é L.I. se, e somente se, a matriz A for invertível, e que isso equivale a det(A)neq0. A generalização para n vetores em R^n segue o mesmo argumento.

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