Um conjunto formado por 3 vetores em é L.I. se o sistema (com 3 equações e 3 variáveis) formado pela equação vetorial
possui apenas a solução trivial . Usando o Exercício 2, mostre que o conjunto é L.I. se, e somente se, a matriz , formada pelas coordenadas dos vetores é invertível. Conclua que o conjunto forma uma base do se, e somente se, possui determinante não nulo. Generalize para vetores em .
Passo 1
O enunciado afirma que um conjunto é linearmente independente (L.I.) se o sistema vetorial
só tiver a solução trivial . Queremos relacionar isso com a invertibilidade de uma matriz cujas colunas são as coordenadas de .
Passo 2
Escrevendo em coordenadas como
definimos
Então a equação vetorial
é equivalente ao sistema matricial
Passo 3
Pelo Exercício 2 sabemos que, para uma matriz quadrada A, ter núcleo trivial
ker(A)=0
é exatamente a condição de A ser invertível. Desta forma
u,v,w é LI Long<=ftrightarrow A só admite a solução trivial Long<=ftrightarrow A é invertível éóçãéí
Passo 4
Um conjunto de três vetores L.I. em R^3 automaticamente gera todo o espaço (pois dimR^3=3), ou seja, forma uma base de R^3. Por outro lado, uma matriz quadrada 3times3 é invertível se, e somente se, o seu determinante for não nulo. Portanto
u,v,w é base de R^3 Long<=ftrightarrow A é invertível Long<=ftrightarrow det(A)neq 0 ééí
Passo 5
O mesmo raciocínio vale em geral para n vetores em R^n. Seja u1,dots,uninR^n e A a matriz ntimes n cujas colunas são esses vetores. Então
u1,dots,un é LI Long<=ftrightarrow A é invertível Long<=ftrightarrow det(A)neq 0, ééí
e como dimR^n=n, ter n vetores L.I. implica automaticamente que formam uma base.
Resposta
Mostramos que u,v,w é L.I. se, e somente se, a matriz A for invertível, e que isso equivale a det(A)neq0. A generalização para n vetores em R^n segue o mesmo argumento.