Determine os valores de alpha, de modo que o sistema abaixo tenha:
(a) Infinitas soluções.
(b) Uma única solução.
l x+y+alpha z=2 3 x+4 y+2 z=alpha 2 x+3 y-z=1

Passo 1

O enunciado pede os valores de alpha para que o sistema
x + y + alpha z = 2, 3x + 4y + 2z = alpha, 2x + 3y - z = 1
tenha infinitas soluções (caso de dependência compatível) ou uma única solução (caso de matriz inversível). Vamos usar conceitos de determinante e de posto (rank) para resolver.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz dos coeficientes
A = 1 & 1 & alpha 3 & 4 & 2 2 & 3 & -1
Temos
det(A) = 1cdotdet4 & 23 & -1 -1cdotdet3 & 22 & -1 +alphacdotdet3 & 42 & 3
Agora
det4 & 23 & -1 =4cdot(-1)-2cdot3=-10, det3 & 22 & -1 =3cdot(-1)-2cdot2=-7, det3 & 42 & 3 =3cdot3-4cdot2=1
Logo
det(A) = 1cdot(-10) - 1cdot(-7) + alphacdot1 = -10 +7 + alpha = alpha -3

Passo 3

Pelo teorema de Cramer, se det(A)neq0 o sistema tem solução única. Assim
det(A)neq0 ;Long<=ftrightarrow; alpha -3 neq 0 ;Long<=ftrightarrow; alpha neq 3

Passo 4

Para alpha=3 temos det(A)=0, logo a matriz de coeficientes é singular e o sistema pode ser ou indeterminado (infinitas soluções) ou impossível. Vamos verificar consistência. Com alpha=3, os vetores-linha de A são
,(1,1,3),,(3,4,2),,(2,3,-1), e satisfazem
(1,1,3) - (3,4,2) + (2,3,-1) = (0,0,0)
Aplicando a mesma combinação ao vetor dos termos independentes (2,3,1) obtemos
2 - 3 + 1 = 0,
ou seja, não há contradição. Portanto, para alpha=3 o sistema é compatível singular, isto é, tem infinitas soluções.

Resposta

(a) Infinitas soluções se alpha = 3.
(b) Uma única solução se alpha neq 3.

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