Determine os valores de , de modo que o sistema abaixo tenha:
(a) Infinitas soluções.
(b) Uma única solução.
Passo 1
O enunciado pede os valores de alpha para que o sistema
x + y + alpha z = 2, 3x + 4y + 2z = alpha, 2x + 3y - z = 1
tenha infinitas soluções (caso de dependência compatível) ou uma única solução (caso de matriz inversível). Vamos usar conceitos de determinante e de posto (rank) para resolver.
Passo 2
Calculemos o determinante da matriz dos coeficientes
Para alpha=3 temos det(A)=0, logo a matriz de coeficientes é singular e o sistema pode ser ou indeterminado (infinitas soluções) ou impossível. Vamos verificar consistência. Com alpha=3, os vetores-linha de A são ,(1,1,3),,(3,4,2),,(2,3,-1), e satisfazem
(1,1,3) - (3,4,2) + (2,3,-1) = (0,0,0)
Aplicando a mesma combinação ao vetor dos termos independentes (2,3,1) obtemos
2 - 3 + 1 = 0,
ou seja, não há contradição. Portanto, para alpha=3 o sistema é compatível singular, isto é, tem infinitas soluções.
Resposta
(a) Infinitas soluções se alpha = 3.
(b) Uma única solução se alpha neq 3.