Considere os vetores u=(1,2,3) e v=(-1,3,-2) do R^3.
(a) Determine quais dos vetores abaixo podem ser escritos como combinação linear de u e v.
(b) Verifique que u e v são L.I. (linearmente independente) e escreva a equação do plano gerado por eles. Se sua equação estiver correta, os vetores que podem ser escritos como combinação linear de u e v devem satisfazer essa equação. Em particular, u e v também satisfazem essa equação.
i) (-1,13,0)
ii) (1,10,-1)
iii) (1,12,5)
iv) $(0,12,5)

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores u=(1,2,3) e v=(-1,3,-2) em R^3. No item (a) precisamos identificar quais dos vetores
i) (-1,13,0),
ii) (1,10,-1),
iii) (1,12,5),
iv) (0,12,5)
podem ser escritos como combinação linear de u e v. No item (b) devemos mostrar que u e v são linearmente independentes e obter a equação implícita do plano por eles gerado, de modo que todos os vetores combinação linear satisfaçam essa equação.

Passo 2

Para verificar a independência linear de u e v calculamos o produto vetorial. Se utimes vneq0, então são LI.
utimes v =(2cdot(-2)-3cdot3,;3cdot(-1)-1cdot(-2),;1cdot3-2cdot(-1)) =(-13,-1,5),
que não é o vetor nulo. Logo, u e v são linearmente independentes.

Passo 3

O vetor n=(-13,-1,5) é normal ao plano gerado por u e v. A equação implícita desse plano é
-13x - y + 5z = 0
Como checagem, para u=(1,2,3) temos -13cdot1-2+5cdot3=0 e para v=(-1,3,-2) temos -13cdot(-1)-3+5cdot(-2)=0.

Passo 4

Testamos cada vetor na equação -13x - y + 5z = 0:
Para (-1,13,0):
-13cdot(-1)-13+5cdot0=13-13=0 to pertence ao plano (combinação linear).
Para (1,10,-1):
-13cdot1-10+5cdot(-1)=-13-10-5=-28neq0 to não pertence.
Para (1,12,5):
-13cdot1-12+5cdot5=-13-12+25=0 to pertence.
Para (0,12,5):
-13cdot0-12+5cdot5=-12+25=13neq0 to não pertence.

Resposta

Os vetores que podem ser escritos como combinação linear de u e v são
i) (-1,13,0) e
iii) (1,12,5).
A equação do plano gerado por u e v é
-13x - y + 5z = 0

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