Considere os vetores
e
do
.
(a) Determine quais dos vetores abaixo podem ser escritos como combinação linear de
e
.
(b) Verifique que
e
são L.I. (linearmente independente) e escreva a equação do plano gerado por eles. Se sua equação estiver correta, os vetores que podem ser escritos como combinação linear de
e
devem satisfazer essa equação. Em particular,
e
também satisfazem essa equação.
i)
ii)
iii)
iv) $(0,12,5)
(a) Determine quais dos vetores abaixo podem ser escritos como combinação linear de
(b) Verifique que
i)
ii)
iii)
iv) $(0,12,5)
Passo 1
O enunciado nos dá os vetores
e
em
. No item (a) precisamos identificar quais dos vetores
i) ,
ii) ,
iii) ,
iv)
podem ser escritos como combinação linear de e
. No item (b) devemos mostrar que
e
são linearmente independentes e obter a equação implícita do plano por eles gerado, de modo que todos os vetores combinação linear satisfaçam essa equação.
i)
ii)
iii)
iv)
podem ser escritos como combinação linear de
Passo 2
Para verificar a independência linear de
e
calculamos o produto vetorial. Se
, então são LI.
que não é o vetor nulo. Logo,
e
são linearmente independentes.
Passo 3
O vetor
é normal ao plano gerado por
e
. A equação implícita desse plano é
Como checagem, para
temos
e para
temos
.
Passo 4
Testamos cada vetor na equação
:
Para
:
pertence ao plano (combinação linear).
Para
:
não pertence.
Para
:
pertence.
Para
:
não pertence.
Resposta
Os vetores que podem ser escritos como combinação linear de
e
são
i) e
iii) .
A equação do plano gerado por e
é
i)
iii)
A equação do plano gerado por