Considere r(t)=(2 cos (3 t), 2 sin (3 t)), ângulos em radianos. Obtenha:
Mostre que se trata de um movimento circular uniforme e obtenha a velocidade angular omega do movimento.

Passo 1

Então, o enunciado diz que temos a posição de uma partícula no plano dada por
,
com em segundos e os ângulos em radianos.
Conteúdo: movimento circular uniforme (M.C.U.).
O que vamos usar:
  • derivada de funções trigonométricas,
  • cálculo de módulo de vetor,
  • definição de M.C.U. (trajetória circular de raio constante e velocidade escalar constante),
  • relação entre velocidade escalar , raio e velocidade angular :
    .

Passo 2

Primeiro, eu quero ver em que círculo esse ponto está. Ou seja, o raio da trajetória.
Calculo o módulo de |vec r(t)| = raizl(2cos(3t)r)^2 ;+;l(2sin(3t)r)^2 = raiz4cos^2(3t) + 4sin^2(3t) :
|vec r(t)| = raiz4cdot1 = 2
Como , isso vira
Ou seja, a partícula está sempre a 2 unidades do centro: é um círculo de raio .

Passo 3

Agora vamos à velocidade vetorial, que é a derivada de vec v(t) = ddtl(2cos(3t),,2sin(3t)r) = l(-2cdot3sin(3t),,2cdot3cos(3t)r) = l(-6sin(3t),,6cos(3t)r) :
Explicando:
  • a derivada de é ,
  • a derivada de é .

Passo 4

Agora o módulo da velocidade escalar:
|vec v(t)| = raizl(-6sin(3t)r)^2 + l(6cos(3t)r)^2 = raiz36sin^2(3t) + 36cos^2(3t) = raiz36cdot1 = 6
Perceba que isso não depende de : a velocidade escalar é constante e igual a .
Trajetória é um círculo de raio e a velocidade escalar não muda → é um movimento circular uniforme.

Passo 5

Falta achar a velocidade angular v = omega,R Longrightarrow omega = vR = 62 = 3 l[rad/sr] . Lembrando a relação

Resposta

A trajetória é um movimento circular uniforme de raio e a velocidade angular vale

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