Se for o vetor que vai desde a origem ao ponto .
Demonstre as fórmulas
Passo 1
Então, o enunciado pede pra gente considerar o vetor
que vai da origem até o ponto , e demonstrar três coisas:
1)
2)
3)
Aqui o conteúdo é Operadores Vetoriais (divergência, rotacional e derivada direcional). A gente vai precisar da definição de cada operador em coordenadas cartesianas e de derivadas parciais básicas.
Passo 2
Mostrando
Definição: a divergência de um campo é
- No nosso caso, , , . Então
Somando:
Passo 3
Mostrando
Definição: o rotacional de em cartesiano é
Para vec r, cada componente depende só de sua própria coordenada: Fx=x, Fy=y, Fz=z.
Por exemplo, a componente hatimath do rotacional é$$\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}= \frac{\partial z}{\partial y} - \frac{\partial y}{\partial z} = 0 - 0 = 0.partial Fzpartial y - partial Fypartial z = partial zpartial y - partial ypartial z = 0 - 0 = 0ãá\nabla\times\vec r = \vec 0.$$
Passo 4
Mostrando (vec ucdotnabla),vec r = vec u
Definição: o operador direcional vec ucdotnabla évec ucdotnabla = uxpartialpartial x + uypartialpartial y + uzpartialpartial z
- Aplicando em vec r = (x,y,z) componente a componente:
- partial vec rpartial x = l(1,0,0r)
- partial vec rpartial y = l(0,1,0r)
- partial vec rpartial z = l(0,0,1r)
- Então
$$(\vec u\cdot\nabla),\vec r= u_x,(1,0,0) + u_y,(0,1,0) + u_z,(0,0,1)
= (u_x,,u_y,,u_z)= \vec u.$$
Resposta
nablacdotvec r = 3, nablatimesvec r = vec 0, (vec ucdotnabla),vec r = vec u$