Se r for o vetor que vai desde a origem ao ponto (x, y, z).
Demonstre as fórmulas nabla cdot r=3 ; nabla times r=0 e(u cdot nabla) r=u

Passo 1

Então, o enunciado pede pra gente considerar o vetor
vec r = x,hatimath + y,hatjmath + z,hat k
que vai da origem até o ponto (x,y,z), e demonstrar três coisas:
1) nablacdotvec r = 3
2) nablatimesvec r = vec 0
3) (vec ucdotnabla),vec r = vec u
Aqui o conteúdo é Operadores Vetoriais (divergência, rotacional e derivada direcional). A gente vai precisar da definição de cada operador em coordenadas cartesianas e de derivadas parciais básicas.

Passo 2

Mostrando nablacdotvec r=3
  • Definição: a divergência de um campo vec F = Fx,hatimath + Fy,hatjmath + Fz,hat k é nablacdotvec F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
    - No nosso caso, Fx = x, Fy = y, Fz = z. Então
    partial xpartial x = 1, partial ypartial y = 1, partial zpartial z = 1
  • Somando: nablacdotvec r = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 3

Mostrando nablatimesvec r=vec 0
  • Definição: o rotacional de vec F em cartesiano é nablatimesvec F = hatimath & hatjmath & hat k partial/partial x & partial/partial y & partial/partial z Fx & Fy & Fz
  • Para vec r, cada componente depende só de sua própria coordenada: Fx=x, Fy=y, Fz=z.
  • Por exemplo, a componente hatimath do rotacional é$$\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}= \frac{\partial z}{\partial y} - \frac{\partial y}{\partial z} = 0 - 0 = 0. partial Fzpartial y - partial Fypartial z = partial zpartial y - partial ypartial z = 0 - 0 = 0ãá\nabla\times\vec r = \vec 0.$$

Passo 4

Mostrando (vec ucdotnabla),vec r = vec u
  • Definição: o operador direcional vec ucdotnabla é vec ucdotnabla = uxpartialpartial x + uypartialpartial y + uzpartialpartial z
    - Aplicando em vec r = (x,y,z) componente a componente:
    - partial vec rpartial x = l(1,0,0r)
    - partial vec rpartial y = l(0,1,0r)
    - partial vec rpartial z = l(0,0,1r)
    - Então
    $$(\vec u\cdot\nabla),\vec r= u_x,(1,0,0) + u_y,(0,1,0) + u_z,(0,0,1)
    = (u_x,,u_y,,u_z)= \vec u.$$

Resposta

nablacdotvec r = 3, nablatimesvec r = vec 0, (vec ucdotnabla),vec r = vec u$

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