Considere o vetor posição r(t)=(-1+2 t,-2 t). Obtenha:
A trajetória do movimento na forma x(y).

Passo 1

Beleza, olha o enunciado: a posição de um móvel vem dada pelo vetor
r(t) = l(x(t),,y(t)r) = l(-1 + 2t,,-2tr)
O que a gente quer é escrever a trajetória na forma , ou seja, uma equação que relaciona e sem envolver o parâmetro .
Conteúdo: função vetorial, equações paramétricas e eliminação de parâmetro. Vamos precisar de álgebra básica para isolar e substituir.

Passo 2

Primeiro, identificamos as coordenadas paramétricas:
x(t) = -1 + 2t, y(t) = -2t
Isso significa que, para cada instante , o móvel está em .

Passo 3

Agora, a ideia é tirar o y = -2t de dentro dessas expressões. Começamos por t = y-2 = -y2 :
Para isolar , dividimos ambos os lados por :
(É só álgebra: dividir por um número negativo dá sinal invertido.)

Passo 4

Com x = -1 + 2t = -1 + 2!l(-tfracy2r) = -1 - y em função de , a gente volta em e faz a substituição:
Repare que .

Resposta

Logo, a trajetória na forma boxedx(y) = -1 - y é

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