Considere que r=r r. Use o resultado anterior para mostrar que
[
\vec{v}=\frac{d \vec{r}}{d t}=\frac{d r}{d t} \hat{r}+r \omega \hat{\theta} .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar como a velocidade vetorial v é derivada em termos das componentes r e theta. Vamos usar o conteúdo de cinemática vetorial e precisaríamos entender como derivar vetores em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, temos o vetor posição r dado por r = r r, onde r é a distância ao centro e r é o vetor unitário na direção radial.

Passo 3

Para encontrar a velocidade v, precisamos derivar r em relação ao tempo t. Aplicando a derivada:
v = drdt

Passo 4

Usando a regra do produto para derivadas, temos que derivar r e r separadamente:
drdt = drdt r + r drdt

Passo 5

Agora, precisamos encontrar drdt. Em coordenadas polares, o vetor unitário r muda com o ângulo theta, e sua derivada em relação ao tempo é relacionada ao vetor unitário azimutal theta:
drdt = omega theta
onde omega é a velocidade angular, isto é, omega = dthetadt.

Passo 6

Substituindo drdt na expressão anterior:
v = drdt r + r omega theta

Resposta

v = drdt r + r omega theta

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