Considere que
. Use o resultado anterior para mostrar que
[
\vec{v}=\frac{d \vec{r}}{d t}=\frac{d r}{d t} \hat{r}+r \omega \hat{\theta} .
\vec{v}=\frac{d \vec{r}}{d t}=\frac{d r}{d t} \hat{r}+r \omega \hat{\theta} .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar como a velocidade vetorial
é derivada em termos das componentes
e
. Vamos usar o conteúdo de cinemática vetorial e precisaríamos entender como derivar vetores em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, temos o vetor posição
dado por
, onde
é a distância ao centro e
é o vetor unitário na direção radial.
Passo 3
Para encontrar a velocidade
, precisamos derivar
em relação ao tempo
. Aplicando a derivada:
Passo 4
Usando a regra do produto para derivadas, temos que derivar
e
separadamente:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
. Em coordenadas polares, o vetor unitário
muda com o ângulo
, e sua derivada em relação ao tempo é relacionada ao vetor unitário azimutal
:
onde
é a velocidade angular, isto é,
.
Passo 6
Substituindo
na expressão anterior: