O Sol é um corpo extenso. Em nossa dedução supomos que a aceleração da gravidade em um ponto fora do Sol não depende da dimensão do Sol. Vamos agora demonstrar que isso pode ser mostrado de primeiros princípios.
16) Explique porque, para o Sol esfericamente simétrico, rho(r)=rho(r).
17) Explique porque a massa do Sol é
MSol=integral0^R rho(r^prime) 4 pi r^prime 2 d r^prime

Passo 1

Beleza, vamos resolver essas duas questões sobre a estrutura do Sol. O assunto aqui é simetria esférica e como calcular a massa de um corpo esférico como o Sol. Vamos precisar entender como a densidade depende da posição no Sol e como integrar essa densidade para encontrar a massa total.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre por que, para um Sol esfericamente simétrico, a densidade rho(r) depende apenas da distância ao centro, ou seja, rho(r) = rho(r).
Imagine que o Sol é uma esfera perfeita, sem nenhuma irregularidade. Isso significa que, se você escolher qualquer ponto na superfície do Sol e medir a distância até o centro, essa distância será a mesma em todas as direções. Como o Sol é igual em todas as direções (simétrico esférico), a densidade em qualquer ponto depende apenas de quão longe esse ponto está do centro, não importa em que direção você vá. Por isso, usamos rho(r), indicando que a densidade só varia com a distância radial r do centro do Sol.

Passo 3

Agora, vamos explicar por que a massa do Sol é dada por
MSol=integral0^R rho(r^prime) 4 pi r^prime 2 d r^prime
Para calcular a massa total do Sol, precisamos somar a massa de todas as pequenas “casas” ou camadas que compõem o Sol. Como o Sol é esfericamente simétrico, podemos pensar em camadas esféricas concêntricas. A massa de uma camada com raio r' e espessura dr' é o produto da densidade rho(r') pelo volume dessa camada.
O volume de uma casca esférica de raio r' e espessura dr' é a área da superfície da esfera times a espessura, ou seja, 4pi r'^2 dr'. Multiplicando isso pela densidade, temos a massa dessa camada: rho(r') cdot 4pi r'^2 dr'.
Para encontrar a massa total do Sol, somamos a massa de todas essas camadas desde o centro ( r' = 0) até a superfície ( r' = R), o que resulta na integral:
MSol = integral0^R rho(r^prime) 4 pi r^prime 2 d r^prime

Resposta

Assim, demonstramos que, devido à simetria esférica do Sol, a densidade depende apenas da distância ao centro, rho(r), e que a massa total do Sol é obtida integrando essa densidade multiplicada pela área das camadas esféricas, resultando na fórmula:
MSol = integral0^R rho(r^prime) 4 pi r^prime 2 d r^prime

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