O Sol é um corpo extenso. Em nossa dedução supomos que a aceleração da gravidade em um ponto fora do Sol não depende da dimensão do Sol. Vamos agora demonstrar que isso pode ser mostrado de primeiros princípios.
16) Explique porque, para o Sol esfericamente simétrico,
.
17) Explique porque a massa do Sol é
16) Explique porque, para o Sol esfericamente simétrico,
17) Explique porque a massa do Sol é
Passo 1
Beleza, vamos resolver essas duas questões sobre a estrutura do Sol. O assunto aqui é simetria esférica e como calcular a massa de um corpo esférico como o Sol. Vamos precisar entender como a densidade depende da posição no Sol e como integrar essa densidade para encontrar a massa total.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre por que, para um Sol esfericamente simétrico, a densidade
depende apenas da distância ao centro, ou seja,
.
Imagine que o Sol é uma esfera perfeita, sem nenhuma irregularidade. Isso significa que, se você escolher qualquer ponto na superfície do Sol e medir a distância até o centro, essa distância será a mesma em todas as direções. Como o Sol é igual em todas as direções (simétrico esférico), a densidade em qualquer ponto depende apenas de quão longe esse ponto está do centro, não importa em que direção você vá. Por isso, usamos
, indicando que a densidade só varia com a distância radial
do centro do Sol.
Passo 3
Agora, vamos explicar por que a massa do Sol é dada por
Para calcular a massa total do Sol, precisamos somar a massa de todas as pequenas “casas” ou camadas que compõem o Sol. Como o Sol é esfericamente simétrico, podemos pensar em camadas esféricas concêntricas. A massa de uma camada com raio
e espessura
é o produto da densidade
pelo volume dessa camada.
O volume de uma casca esférica de raio
e espessura
é a área da superfície da esfera times a espessura, ou seja,
. Multiplicando isso pela densidade, temos a massa dessa camada:
.
Para encontrar a massa total do Sol, somamos a massa de todas essas camadas desde o centro (
) até a superfície (
), o que resulta na integral:
Resposta
Assim, demonstramos que, devido à simetria esférica do Sol, a densidade depende apenas da distância ao centro,
, e que a massa total do Sol é obtida integrando essa densidade multiplicada pela área das camadas esféricas, resultando na fórmula: