Considere os vetores
e
. Mostre que
[
\frac{d \hat{r}}{d t}=\omega \hat{\theta}, \quad \frac{d \hat{\theta}}{d t}=-\omega \hat{r}
\frac{d \hat{r}}{d t}=\omega \hat{\theta}, \quad \frac{d \hat{\theta}}{d t}=-\omega \hat{r}
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores:
O objetivo é mostrar que as derivadas desses vetores em relação ao tempo são:
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores em movimento circular, e como os vetores unitários
e
se comportam nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar o vetor
em relação ao tempo
. Para isso, usamos a regra da derivada para funções trigonométricas. Sabemos que:
Aqui,
, que é a velocidade angular.
Passo 3
Aplicando a derivada ao vetor
:
Fatorando
:
Passo 4
Agora, vamos derivar o vetor
em relação ao tempo
. Novamente, aplicamos a regra da derivada para funções trigonométricas:
Fatorando
:
Resposta
Portanto, mostramos que: