Considere os vetores r=cos theta i+sin theta j e theta=-sin theta i+cos theta j. Mostre que
[
\frac{d \hat{r}}{d t}=\omega \hat{\theta}, \quad \frac{d \hat{\theta}}{d t}=-\omega \hat{r}

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores:
r = cos theta i + sin theta j
theta = -sin theta i + cos theta j
O objetivo é mostrar que as derivadas desses vetores em relação ao tempo são:
d rdt = omega theta, d thetadt = -omega r
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores em movimento circular, e como os vetores unitários r e theta se comportam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar o vetor r em relação ao tempo t. Para isso, usamos a regra da derivada para funções trigonométricas. Sabemos que:
ddt cos theta = -sin theta cdot dthetadt
ddt sin theta = cos theta cdot dthetadt
Aqui, dthetadt = omega, que é a velocidade angular.

Passo 3

Aplicando a derivada ao vetor r:
d rdt = ddt (cos theta i + sin theta j) = -sin theta cdot omega i + cos theta cdot omega j
Fatorando omega:
d rdt = omega (-sin theta i + cos theta j) = omega theta

Passo 4

Agora, vamos derivar o vetor theta em relação ao tempo t. Novamente, aplicamos a regra da derivada para funções trigonométricas:
d thetadt = ddt (-sin theta i + cos theta j) = -cos theta cdot omega i - sin theta cdot omega j
Fatorando omega:
d thetadt = -omega (cos theta i + sin theta j) = -omega r

Resposta

Portanto, mostramos que:
d rdt = omega theta, d thetadt = -omega r

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