Considere o raio da Terra igual a 6400 km e determine a velocidade escalar (em km/h) de um ponto na superfície da Terra. a) No polo norte b) No equador c) Em Paris, onde a latitude é theta=49^circ.
Gabarito
8. a) zero, b) 267 km/h, c) 175 km/h.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir a velocidade que um ponto na superfície da Terra está se movendo, em km/h. A gente tem que calcular três casos: no Polo Norte, no Equador e em Paris, que está numa latitude de 49^circ. Vamos usar conceitos de movimento circular e entender como a rotação da Terra afeta essa velocidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a Terra gira uma vez completa em 24 horas. Isso significa que qualquer ponto na superfície está se movendo por causa dessa rotação. A velocidade que a gente quer achar é a velocidade linear desse movimento.

Passo 3

A fórmula pra calcular a velocidade linear $ v $ é:
v
Onde:
  • $ \omega $ é a velocidade angular (quanto a Terra está girando por hora).
  • $ r $ é o raio da trajetória circular do ponto.

Passo 4

Vamos calcular a velocidade angular $ \omega $. A Terra dá 360 graus em 24 horas, então por hora ela gira:
omega
Convertendo isso para radianos (porque é mais fácil trabalhar com radianos na matemática):
omega = 360^circ24 h = 15^circ/h

Passo 5

a) No Polo Norte
No Polo Norte, o ponto está no eixo de rotação da Terra. Isso significa que o raio da trajetória circular desse ponto é zero, já que ele não está se movendo lateralmente, apenas girando no lugar.
Usando a fórmula:
v = omega times r = pi12 times 0 = 0 , km/h

Passo 6

b) No Equador
No Equador, o raio da trajetória é igual ao raio da Terra, que é 6400 km. Então, aplicando a fórmula:
v = omega times r = pi12 times 6400 approx 1675 , km/h
Parece que esse número está errado em relação ao gabarito. Vamos ajustar:
Na verdade, a velocidade linear pode ser calculada diretamente pela circunferência dividida pelo tempo:
v = 2pi rT
Onde $ T = 24 $ horas:
T = 24
Mas o gabarito diz 267 km/h, então precisamos revisar. Parece que houve um erro na conversão. Vamos refazer:
v = 2pi times 640024 approx 1675 , km/h
Hmm, isso ainda não bate com o gabarito. Provavelmente, o raio está em km e precisamos converter a velocidade angular corretamente. Vamos considerar que:
v = omega times r = 2pi24 times 6400 = pi12 times 6400 approx 1675 , km/h
Então:
omega = 2pi24 , rad/h approx 0.2618 , rad/h
Parece que o gabarito está considerando uma rotação diferente ou há um erro. De qualquer forma, vamos seguir com o valor aproximado correto.

Passo 7

c) Em Paris ( theta = 49^circ)
Aqui, o raio efetivo da trajetória não é todo o raio da Terra, mas sim uma parte dele, devido à latitude. Usamos a fórmula:
v = omega times r cos theta
Substituindo os valores:
v = pi12 times 6400 times cos 49^circ approx 1675 times cos 49^circ approx 1675 times 0.6561 approx 1101 , km/h
Novamente, isso não bate com o gabarito de 175 km/h. Parece que há uma discrepância nos cálculos ou nas unidades usadas. Vamos revisar rapidamente:
Usando:
v = 2pi r24 times cos theta
v = 2pi times 640024 times 0.6561 approx 1675 times 0.6561 approx 1101 , km/h
Ainda assim, difere do gabarito. É provável que o gabarito esteja usando um raio menor ou uma velocidade angular diferente. De qualquer forma, seguindo os cálculos corretos, os valores deveriam ser esses.

Resposta

a) 0 km/h, b) 1675 km/h, c) 1101 km/h.

Exercícios relacionados