Uma partícula move-se ao longo da parábola
de modo que em qualquer instante
. Calcule o módulo e a direção da velocidade e a aceleração da partícula no ponto
2/3 m.
Gabarito
-
formando
com o eixo x positivo;
.
Gabarito
Passo 1
Vamos resolver um exercício de movimento em uma trajetória curva. A partícula se move ao longo da parábola $ y = x^2 $ com uma velocidade horizontal constante de $ v_x = 3 , m/s $. Nosso objetivo é calcular o módulo e a direção da velocidade total da partícula, além de determinar a aceleração nesse movimento no ponto onde $ x = \frac{2}{3} , m $.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a componente vertical da velocidade, $ v_y $. Como a partícula está se movendo ao longo da parábola $ y = x^2 $, podemos relacionar $ y $ e $ x $ para achar como $ y $ varia com o tempo.
Sabemos que $ v_x = \frac{dx}{dt} = 3 , m/s $. Para encontrar $ v_y = \frac{dy}{dt} $, derivamos $ y $ em relação ao tempo:
Passo 3
Substituindo $ x = \frac{2}{3} , m $ e $ v_x = 3 , m/s $ na equação de $ v_y $:
Passo 4
Agora que temos $ v_x = 3 , m/s $ e $ v_y = 4 , m/s $, podemos calcular o módulo da velocidade total $ v $ usando o teorema de Pitágoras:
Passo 5
Para encontrar a direção da velocidade, calculamos o ângulo $ \theta $ que ela forma com o eixo $ x $ positivo usando a função tangente:
Passo 6
Agora, vamos determinar a aceleração da partícula. A aceleração tem duas componentes: $ a_x $ e $ a_y $. Como $ v_x $ é constante, $ a_x = 0 $. A componente vertical da aceleração $ a_y $ está relacionada à variação de $ v_y $:
Derivando $ v_y = 2x \cdot v_x $ em relação ao tempo:
Resposta
A velocidade da partícula tem módulo $ v = 5 , m/s $ e forma um ângulo de $ 53,13^\circ $ com o eixo $ x $ positivo. A aceleração da partícula nesse ponto é $ a = 18 , m/s^2 $.