Uma roda, inicialmente em repouso, é acelerada uniformemente até 200 rpm em 6 s, depois gira durante um certo tempo com velocidade constante e finalmente é freada uniformemente, parando em 5 s. Sabendo que o número total de rotações foi de 3100 voltas, determine por quantos minutos a roda girou com velocidade constante.
Gabarito
3.
.
Gabarito
3.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma roda que começa parada, acelera até 200 rpm em 6 segundos, gira em velocidade constante por um tempo desconhecido e depois desacelera até parar em 5 segundos. O total de rotações que a roda fez nesse processo todo foi de 3100 voltas. A gente vai usar conceitos de movimento angular, como aceleração angular, velocidade angular e o número de rotações, para descobrir quanto tempo a roda ficou girando na velocidade constante.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a velocidade angular final de rpm para rad/s, porque isso facilita os cálculos. Sabemos que:
Então, para 200 rpm:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração angular durante os 6 segundos de aceleração. Como a roda parte do repouso, a aceleração angular (
) é:
Passo 4
Durante a aceleração, o ângulo girado (
) pode ser calculado usando:
Passo 5
Depois, a roda gira com velocidade constante por um tempo
. O ângulo girado nessa fase (
) é:
Passo 6
Finalmente, na desaceleração de 5 segundos até parar, a aceleração angular (
) é negativa:
O ângulo girado nessa fase (
) é:
Passo 7
O número total de rotações é 3100 voltas. Sabendo que uma volta completa é
radianos, o ângulo total girado (
) é:
Somando os ângulos das três fases:
Passo 8
Vamos resolver para
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 9
Convertendo o tempo de segundos para minutos:
Resposta
A roda girou com velocidade constante durante aproximadamente 15,4 minutos.