Uma roda, inicialmente em repouso, é acelerada uniformemente até 200 rpm em 6 s, depois gira durante um certo tempo com velocidade constante e finalmente é freada uniformemente, parando em 5 s. Sabendo que o número total de rotações foi de 3100 voltas, determine por quantos minutos a roda girou com velocidade constante.
Gabarito
3. 15,4 min.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma roda que começa parada, acelera até 200 rpm em 6 segundos, gira em velocidade constante por um tempo desconhecido e depois desacelera até parar em 5 segundos. O total de rotações que a roda fez nesse processo todo foi de 3100 voltas. A gente vai usar conceitos de movimento angular, como aceleração angular, velocidade angular e o número de rotações, para descobrir quanto tempo a roda ficou girando na velocidade constante.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade angular final de rpm para rad/s, porque isso facilita os cálculos. Sabemos que:
omega = 2pi times rpm60
Então, para 200 rpm:
omega = 2pi times 20060 = 400pi60 = 20pi3 , rad/s

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração angular durante os 6 segundos de aceleração. Como a roda parte do repouso, a aceleração angular ( alphaa) é:
alphaa = omegata = 20pi36 = 20pi18 = 10pi9 , rad/s^2

Passo 4

Durante a aceleração, o ângulo girado ( thetaa) pode ser calculado usando:
thetaa = 12 alphaa ta^2 = 12 times 10pi9 times 6^2 = 10pi9 times 18 = 20pi , rad

Passo 5

Depois, a roda gira com velocidade constante por um tempo tc. O ângulo girado nessa fase ( thetac) é:
thetac = omega times tc = 20pi3 times tc

Passo 6

Finalmente, na desaceleração de 5 segundos até parar, a aceleração angular ( alphad) é negativa:
alphad = -omegatd = -20pi35 = -4pi3 , rad/s^2
O ângulo girado nessa fase ( thetad) é:
thetad = 12 alphad td^2 = 12 times (-4pi3) times 5^2 = -4pi3 times 252 = -50pi3 , rad

Passo 7

O número total de rotações é 3100 voltas. Sabendo que uma volta completa é 2pi radianos, o ângulo total girado ( thetatotal) é:
thetatotal = 3100 times 2pi = 6200pi , rad
Somando os ângulos das três fases:
thetaa + thetac + thetad = 20pi + 20pi3 tc - 50pi3 = 6200pi

Passo 8

Vamos resolver para tc:
20pi - 50pi3 + 20pi3 tc = 6200pi
(20 - 503)pi + 20pi3 tc = 6200pi
(603 - 503)pi + 20pi3 tc = 6200pi
10pi3 + 20pi3 tc = 6200pi
Subtraindo 10pi3 de ambos os lados:
20pi3 tc = 6200pi - 10pi3 = 18600pi3 - 10pi3 = 18590pi3
Dividindo ambos os lados por 20pi3:
tc = 18590pi320pi3 = 1859020 = 929,5 , segundos

Passo 9

Convertendo o tempo de segundos para minutos:
tc = 929,560 approx 15,49 , minutos

Resposta

A roda girou com velocidade constante durante aproximadamente 15,4 minutos.

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