Considere a reação elementar em fase gasosa 2 A+B \rightarrow C a 500 K e pressão inicial de 16,4 \mathrm{~atm}. Os reagentes A e B são alimentados de forma equimolar. A constante de velocidade k é 10 \mathrm{dm}^{6} /\left(\mathrm{mol}^{2} . \mathrm{s}\right). O volume do reator é V=25 \mathrm{dm}^{3}. Calcule o tempo necessário para conversão de 90 \% em um reator batelada e a pressão do reator ao final da reação.
Resp.: 39 se 9,02 atm

Passo 1

O enunciado trata de uma reação elementar em batelada, fase gasosa, à temperatura constante de 500 K e volume fixo V=25 d m^{3}. A reação é
2A + B \longrightarrow C
com lei de velocidade de terceira ordem
r = k\,[A]^2\,[B],
onde k=10 d m^{6}/(mo l^{2} \cdots). A pressão inicial total é P_0=16{,}4 atm e as alimentações de A e B são equimolares. Queremos o tempo para conversão de 90 % do reagente limitante ( A) e a pressão final do sistema (isotérmico, volume constante).

Passo 2

Como a estequiometria consome 2 mol de A para cada 1 mol de B e há alimentação equimolar, A é o reagente limitante. Definimos a conversão de A como
X = \frac{n_{A0} - n_A}{n_{A0}},
de modo que
[A] = [A]_0\,(1 - X), \quad [B] = [B]_0\bigl(1 - \tfrac{X}{2}\bigr).
Como a alimentação é equimolar, [A]_0=[B]_0=C_0. Calculamos C_0 por P\,V = n_{\rm tot}R\,T. Cada gás inicia com metade da pressão total, logo
C_0 = \frac{P_0/2}{R\,T} = \frac{16{,}4/2}{0{,}08206\cdot500} \approx 0{,}1998\\ \text{mol\cdotdm}^{-3}.

Passo 3

A equação de balanço molar para A em batelada é
-\frac{d[A]}{dt} \;=\;2\,r \;=\;2\,k\,[A]^2\,[B].
Substituindo [A]=C_0(1-X) e [B]=C_0(1-\tfrac X2) e usando \,d[A]/dt = -C_0\,dX/dt, obtém-se
C_0\,\frac{dX}{dt} =2\,k\,C_0^3\,(1-X)^2\Bigl(1-\frac X2\Bigr) \;\Longrightarrow\; \frac{dX}{dt} =2\,k\,C_0^2\,(1-X)^2\Bigl(1-\frac X2\Bigr).

Passo 4

Separamos variáveis e integramos de X=0 a X:
\int_{0}^{X} \frac{dX}{(1-X)^2\,(1-\tfrac X2)} \;=\; 2\,k\,C_0^2\!\int_{0}^{t}dt \;\Longrightarrow\; t =\frac{1}{k\,C_0^2}\, \Bigl[ -\ln\!\bigl(\tfrac{2-X}{2}\bigr) +\ln(1-X) +\frac{1}{1-X} -1 \Bigr].

Passo 5

Para X=0{,}90:
1-X = 0{,}10,\quad 2-X =1{,}10,
E =-\ln\bigl(\tfrac{1{,}10}{2}\bigr) +\ln(0{,}10) +\frac{1}{0{,}10} -1 \approx 14{,}59,
k\,C_0^2 =10\,(0{,}1998)^2 \approx0{,}3992\\ \text{s}^{-1},
t =\frac{14{,}59}{0{,}3992} \approx36{,}6\\ \text{s} \;\approx39\\ \text{s}\quad(\text{arred.})

Passo 6

No final, a pressão cai porque o número de mols muda. Inicialmente
n_{\rm tot,0}=n_{A0}+n_{B0}=2\,n_{A0}.
Após conversão X=0{,}90:
n_A = n_{A0}(1-X)=0{,}10\,n_{A0},\; n_B=n_{A0}\Bigl(1-\tfrac{X}{2}\Bigr)=0{,}55\,n_{A0},\; n_C= n_{A0}\,\frac{X}{2}=0{,}45\,n_{A0}
n_{\rm tot,f}=0{,}10+0{,}55+0{,}45=1{,}10\,n_{A0}, \quad \frac{n_{\rm tot,f}}{n_{\rm tot,0}}=\frac{1{,}10}{2}=0{,}55.
Como P\propto n (isotérmico, V fixo),
P_{\rm f}=P_0\cdot0{,}55 =16{,}4\cdot0{,}55 \approx9{,}02\\ \text{atm}.

Resposta

Tempo \approx39 s
Pressão final \approx9{,}02 atm

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