1 - Considere a reação em fase líquida \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}, conduzida isotermicamente, cuja velocidade específica de reação é 0,1 \mathrm{~min}^{-1}. Em um experimento com injeção de traçador foram obtidos os seguintes dados. Quais conversões podem ser esperadas para este sistema, de acordo com os modelos de segregação e de mistura máxima?
\mathrm{t}(\mathrm{min}) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14
\mathrm{C}\left(\mathrm{g} / \mathrm{m}^{3}\right) 0 1 5 8 10 8 6 4 3 2,2 1,5 0,6 0

Passo 1

O enunciado dá uma reação líquida de primeira ordem
\mathrm{A}\xrightarrow{k}\mathrm{B},\quad k=0{,}1\;\mathrm{min}^{-1},
e fornece o experimento de injeção de traçador com os dados de concentração de saída C(t). Queremos prever a conversão global X sob dois modelos de dispersão:
  • Modelo de segregação (cada elemento fluidizado reage como PFR com seu tempo de residência t).
  • Modelo de mistura máxima (equivalente a um CSTR com tempo médio de residência \tau).
    Para isso precisamos
  1. Extrair a função-RTD E(t)=C(t)/\int_0^{t_{\max}}C(t)\,dt.
  2. Calcular o tempo médio de residência \displaystyle \tau=\frac{\int t\,C(t)\,dt}{\int C(t)\,dt}.
  3. Aplicar as fórmulas de conversão para cada modelo.

Passo 2

Calcular numericamente
\int_0^{14}C(t)\,dt \quad\text{e}\quad \int_0^{14}t\,C(t)\,dt
pelas regras do trapézio usando os dados:
\{(t_i,C_i)\}=\{(0,0),(1,1),(2,5),(3,8),(4,10),(5,8),(6,6),(7,4),(8,3),(9,2{,}2),(10,1{,}5),(12,0{,}6),(14,0)\}.
Isso fornece
\int_0^{14}C(t)\,dt\approx50{,}65, \quad \int_0^{14}t\,C(t)\,dt\approx259{,}7.

Passo 3

O tempo médio de residência é
\tau=\frac{\displaystyle\int_0^{14}t\,C(t)\,dt}{\displaystyle\int_0^{14}C(t)\,dt} \approx\frac{259{,}7}{50{,}65}\approx5{,}13\;\mathrm{min}.
No modelo de mistura máxima (CSTR com \tau) a conversão de primeira ordem é
X_{\mathrm{mix}}=\frac{k\,\tau}{1+k\,\tau} =\frac{0{,}1\cdot5{,}13}{1+0{,}1\cdot5{,}13} \approx0{,}339\quad(33{,}9\%).

Passo 4

No modelo de segregação cada elemento com idade t tem conversão 1-e^{-k t}. Assim
X_{\mathrm{seg}} =\int_0^{14}E(t)\bigl[1-e^{-k t}\bigr]\,dt =1-\int_0^{14}E(t)\,e^{-k t}\,dt =1-\frac{\displaystyle\int_0^{14}C(t)\,e^{-0{,}1t}\,dt}{\displaystyle\int_0^{14}C(t)\,dt}.
Fazendo trapézio em C(t)e^{-0{,}1t} obtemos \displaystyle\int_0^{14}C(t)e^{-0.1t}\,dt\approx31{,}19,
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X_{\mathrm{seg}} =1-\frac{31{,}19}{50{,}65} \approx0{,}384\quad(38{,}4\%).

Resposta

Modelo de segregação: X_{\mathrm{seg}}\approx38{,}4\%
Modelo de mistura máxima: X_{\mathrm{mix}}\approx33{,}9\%

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