Seja a reação de craqueamento da acetona:
\begin{gathered} \mathrm{CH}_{3} \mathrm{COCH}_{3} \rightarrow \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CO}+\mathrm{CH}_{4} \\\ (A \rightarrow B+C) \end{gathered}
Cuja velocidade específica ( \mathrm{s}^{-1} ), para T em K , é dada por:
l n k=34,34-\frac{34222}{T}
Deseja-se alimentar 8000 kg de acetona pura por hora a 1035 K e 1,6 \mathrm{~atm} em um reator tubular adiabático. Para obter 20 \% de conversão, negligenciando-se a queda de pressão, qual é o volume de reator necessário?
Dados:
\begin{aligned} & \mathrm{MM}_{\mathrm{A}}=58 \mathrm{~g} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} \\ & \mathrm{H}_{\mathrm{A}}^{0}(298 \mathrm{~K})=-216,67 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol} \\ & \mathrm{H}_{\mathrm{B}}^{0}(298 \mathrm{~K})=-61,09 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol} \\ & \mathrm{H}_{\mathrm{C}}^{0}(298 \mathrm{~K})=-74,81 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol} \\ & \mathrm{C}_{\mathrm{PA}}=166,9 \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1} \\ & \mathrm{C}_{\mathrm{PB}}=84,69 \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1} \\ & \mathrm{C}_{\mathrm{PC}}=73,04 \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1} \end{aligned}

Passo 1

O problema trata de uma reação gasosa de craqueamento em fase vapor
\mathrm{A}\longrightarrow \mathrm{B}+\mathrm{C}
onde \mathrm{A}=\mathrm{CH}_3\mathrm{COCH}_3. Alimentamos 8000 kg/h de A pura a T_0=1035 K e P=1{,}6 atm em um reator tubular adiabático e queremos X=0{,}20.
Conteúdo: balanço de matéria num PFR não isotérmico (adiabático) de reação de primeira ordem, com taxa k(T) de Arrhenius e balanço de energia.

Passo 2

Escrevemos o balanço de matéria para PFR em termos de conversão X:
V \;=\; F_{A0}\int_{0}^{X}\frac{dX}{-r_A}
e como -r_A=k(T)\,C_A, temos
V \;=\; F_{A0}\int_{0}^{X}\frac{dX}{k(T)\,C_A}\,.
Pela lei dos gases ideais,
C_A \;=\;\frac{P\,y_A}{R\,T} \quad\text{com}\quad y_A=\frac{1-X}{1+X}\quad(\Delta n=+1).
Logo
V =F_{A0}\int_{0}^{X} \frac{1+X}{1-X}\,\frac{R\,T(X)}{P}\,\frac{dX}{k\bigl(T(X)\bigr)}.

Passo 3

Balanço de energia adiabático (sem troca de calor):
\sum_iF_iC_{p,i}\,dT + F_{A0}\,\Delta H_R(T)\,dX=0,
onde \Delta H_R(T)\approx\Delta H_R^0(298\text{K}) (variação pequena de C_p).
Com \Delta H_R^0=\bigl[H_B^0+H_C^0-H_A^0\bigr]=+80{,}77,kJ/mol, e tomando C_{p,A}\approx167,J/mo l\cdot K,
\frac{dT}{dX} = -\frac{\Delta H_R^0}{C_{p,A}} \;\Longrightarrow\; T(X)\approx T_0 - \frac{\Delta H_R^0}{C_{p,A}}\,X.
Para X=0{,}20,
T_1=T(0{,}2)\approx 1035 - \frac{80770}{166{,}9}\times0{,}2 \approx 938\text{ K}.

Passo 4

Expressão de k(T):
\ln k = 34{,}34 - \frac{34222}{T}, k em s ^{-1}.
Em T_0=1035 K:
\ln k_0 =34{,}34 - \frac{34222}{1035}=1{,}255 \;\Longrightarrow\; k_0=3{,}51\text{ s}^{-1}.
Em T_1=938 K:
\ln k_1 =34{,}34 - \frac{34222}{938}=-2{,}15 \;\Longrightarrow\; k_1=0{,}116\text{ s}^{-1}.
Como k varia fortemente, usamos valor médio aproximado
k_{\rm avg}\approx\sqrt{k_0\,k_1}=\sqrt{3{,}51\times0{,}116}=0{,}64\text{ s}^{-1}.

Passo 5

Calcular F_{A0} e vazão volumétrica v_0:
F_{A0}=\frac{8000\times10^3\text{ g/h}}{58\text{ g/mol}}\times\frac{1\text{ h}}{3600\text{ s}} \approx38{,}31\text{ mol/s},
C_{A0}=\frac{P}{R\,T_0} =\frac{1{,}6\times101325}{8{,}314\times1035}\approx18{,}85\text{ mol/m}^3,
v_0=\frac{F_{A0}}{C_{A0}}\approx\frac{38{,}31}{18{,}85}=2{,}03\text{ m}^3\!/s.
Para PFR de 1ª ordem isotérmico aproximado com k_{\rm avg} e C_{A0} fixos:
V =v_0\int_{0}^{0{,}2}\frac{dX}{k_{\rm avg}(1-X)} =v_0\frac{-\ln(1-0{,}2)}{k_{\rm avg}} =2{,}03\;\frac{0{,}2231}{0{,}64} \approx0{,}71\text{ m}^3.

Resposta

O volume necessário do reator tubular adiabático é aproximadamente
\boxed{0{,}7\text{ m}^3}.

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