Considere a reação de isomerização com cinética de primeira ordem que ocorre sobre um catalisador que está se desativando por envelhecimento (sinterização) segundo uma lei de decaimento de segunda ordem:
Reação de isomerização:
.
A reação ocorre em batelada em um tanque com recheio catalítico.
Dados adicionais:
Constante da velocidade especifica de reação ordem
4
Constante de decaimento por sinterização de ordem
9
Massa de catalisador, W (g)
500
Volume do Reator,
1
Lei de decaimento por envelhecimento:
Considerando os dados acima, calcule a conversão em um tempo de 1 minuto de reação.
Reação de isomerização:
A reação ocorre em batelada em um tanque com recheio catalítico.
Dados adicionais:
Constante da velocidade especifica de reação ordem
|
4 |
Constante de decaimento por sinterização de ordem
|
9 |
Massa de catalisador, W (g) | 500 |
Volume do Reator,
|
1 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma reação de isomerização onde o A se transforma em B. Essa reação segue uma cinética de primeira ordem, ou seja, a velocidade depende diretamente da concentração de A. Mas tem um detalhe: o catalisador que usamos para acelerar essa reação está se desgastando com o tempo, por um processo chamado sinterização, que segue uma lei de decaimento de segunda ordem.
Para resolver, vamos precisar entender:
- Cinética de primeira ordem para a reação A → B.
- Decaimento de segunda ordem do catalisador.
- Usar as constantes fornecidas e calcular a conversão de A em B após 1 minuto.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar os dados que temos:
- Constante da velocidade específica de reação, $ k = 4 , dm^3/gcat\cdots $
- Constante de decaimento por sinterização, $ k_d = 9 , s^{-1} $
- Massa de catalisador, $ W = 500 , g $
- Volume do Reator, $ V = 1 , m^3 $
- Tempo de reação, $ t = 1 , min = 60 , s $
Passo 3
Vamos entender como o catalisador se desativa. A lei de decaimento é dada por:
Isso significa que a atividade $ a $ do catalisador diminui ao longo do tempo, e essa diminuição depende do quadrado da atividade atual.
Precisamos achar a atividade $ a(t) $ após 60 segundos.
Passo 4
Vamos resolver a equação diferencial para $ a(t) $:
Separando as variáveis:
Integrando:
Resolvendo para $ a(t) $:
Onde $ a_0 $ é a atividade inicial do catalisador. Como estamos considerando a atividade inicial sem decaimento, assumimos $ a_0 = 1 $.
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ a(t) $ após 60 segundos:
Isso significa que a atividade do catalisador caiu para aproximadamente 0,185% do valor inicial após 1 minuto.
Passo 6
Com a atividade do catalisador $ a(t) $ conhecida, podemos calcular a conversão $ X $ da reação de isomerização. A conversão para uma reação de primeira ordem em batelada é dada por:
Mas aqui, a constante $ k $ está afetada pela atividade do catalisador, então usamos $ k \cdot a(t) $:
Substituindo os valores:
Passo 7
Calculando dentro do expoente:
Então:
Resposta
A conversão de A em B após 1 minuto de reação é de aproximadamente 35,9%.