Considere a reação de isomerização com cinética de primeira ordem que ocorre sobre um catalisador que está se desativando por envelhecimento (sinterização) segundo uma lei de decaimento de segunda ordem:
Reação de isomerização: A B.
A reação ocorre em batelada em um tanque com recheio catalítico.
Dados adicionais:
Constante da velocidade especifica de reação ordem |l|l| hline Constante da velocidade especifica de reação ordem $1, k(dm^3 / gcat s)$ & 4 hline Constante de decaimento por sinterização de ordem $2, kd(s^-1)$ & 9 hline Massa de catalisador, W (g) & 500 hline Volume do Reator, $m^3$ & 1 hline 4
Constante de decaimento por sinterização de ordem rd=-d ad t=kd cdot a^n 9
Massa de catalisador, W (g) 500
Volume do Reator, 1
Lei de decaimento por envelhecimento:
Considerando os dados acima, calcule a conversão em um tempo de 1 minuto de reação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma reação de isomerização onde o A se transforma em B. Essa reação segue uma cinética de primeira ordem, ou seja, a velocidade depende diretamente da concentração de A. Mas tem um detalhe: o catalisador que usamos para acelerar essa reação está se desgastando com o tempo, por um processo chamado sinterização, que segue uma lei de decaimento de segunda ordem.
Para resolver, vamos precisar entender:
  • Cinética de primeira ordem para a reação A → B.
  • Decaimento de segunda ordem do catalisador.
  • Usar as constantes fornecidas e calcular a conversão de A em B após 1 minuto.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar os dados que temos:
  • Constante da velocidade específica de reação, $ k = 4 , dm^3/gcat\cdots $
  • Constante de decaimento por sinterização, $ k_d = 9 , s^{-1} $
  • Massa de catalisador, $ W = 500 , g $
  • Volume do Reator, $ V = 1 , m^3 $
  • Tempo de reação, $ t = 1 , min = 60 , s $

Passo 3

Vamos entender como o catalisador se desativa. A lei de decaimento é dada por:
rd = -dadt = kd cdot a^2
Isso significa que a atividade $ a $ do catalisador diminui ao longo do tempo, e essa diminuição depende do quadrado da atividade atual.
Precisamos achar a atividade $ a(t) $ após 60 segundos.

Passo 4

Vamos resolver a equação diferencial para $ a(t) $:
a(t)
Separando as variáveis:
dadt = -kd cdot a^2
Integrando:
integral 1a^2 da = -kd integral dt
Resolvendo para $ a(t) $:
-1a = -kd t + C
Onde $ a_0 $ é a atividade inicial do catalisador. Como estamos considerando a atividade inicial sem decaimento, assumimos $ a_0 = 1 $.
Então:
a(t)

Passo 5

Agora, vamos calcular $ a(t) $ após 60 segundos:
a(t)
Isso significa que a atividade do catalisador caiu para aproximadamente 0,185% do valor inicial após 1 minuto.

Passo 6

Com a atividade do catalisador $ a(t) $ conhecida, podemos calcular a conversão $ X $ da reação de isomerização. A conversão para uma reação de primeira ordem em batelada é dada por:
a(t)
Mas aqui, a constante $ k $ está afetada pela atividade do catalisador, então usamos $ k \cdot a(t) $:
X
Substituindo os valores:
X = 1 - e^-kt

Passo 7

Calculando dentro do expoente:
4 cdot 0,00185 = 0,0074
0,0074 cdot 60 = 0,444
Então:
X = 1 - e^-0,444 approx 1 - 0,641 approx 0,359

Resposta

A conversão de A em B após 1 minuto de reação é de aproximadamente 35,9%.

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