Considere a reação ao lado. A velocidade de desativação do catalisador é de primeira ordem em relação à atividade para ambas as reações, com k_{d U}=5 \times 10^{-5} \min ^{-1} e k_{d D}=10^{-4} \min ^{-1}, e independente da concentração dos reagentes. As velocidades de formação de D e U são de primeira ordem em relação à concentração de reagente, com k_{D}=2 \mathrm{~min}^{-1} e k_{U}=0,2 \mathrm{~min}^{-1}. Deseja-se substituir o catalisador quando a velocidade de formação do produto indesejado é igual à metade da velocidade de formação do produto desejado. Após quanto tempo de reação devemos proceder a reposição de catalisador?

Passo 1

O enunciado descreve uma reação paralela de um mesmo reagente formando o produto desejado D e o indesejado U. A atividade do catalisador para cada rota decai de forma de primeira ordem, com constantes \,k_{dD}=10^{-4}\min^{-1} para a via de D e \,k_{dU}=5\times10^{-5}\min^{-1} para a via de U. As velocidades de formação são de primeira ordem na concentração do reagente, com constantes k_D=2\min^{-1} e k_U=0{,}2\min^{-1}. Queremos achar o tempo t em que
r_U(t)=\tfrac12\,r_D(t).
Para isso, vamos (i) escrever a atividade de cada via como função do tempo, (ii) montar as velocidades, (iii) impor a condição e (iv) resolver para t.

Passo 2

Como a desativação é de primeira ordem e partimos de atividade inicial unitária, temos
a_D(t)=e^{-\,k_{dD}\,t} \quad\text{e}\quad a_U(t)=e^{-\,k_{dU}\,t}.

Passo 3

As velocidades de formação são
r_D(t)=k_D\,C_A\,a_D(t) \quad\text{e}\quad r_U(t)=k_U\,C_A\,a_U(t),
onde C_A é a concentração do reagente (a mesma em ambas as vias). Note que C_A cancela ao comparar as velocidades.

Passo 4

Impondo
r_U(t)=\tfrac12\,r_D(t)
temos
k_U\,e^{-\,k_{dU}t} =\tfrac12\,k_D\,e^{-\,k_{dD}t} \;\Longrightarrow\; \exp\bigl[-(k_{dU}-k_{dD})\,t\bigr] =\frac{k_D}{2\,k_U}.
Tomando logaritmo,
-(k_{dU}-k_{dD})\,t =\ln\!\biggl(\frac{k_D}{2\,k_U}\biggr) \;\Longrightarrow\; t =\frac{-\,\ln\!\bigl(\tfrac{k_D}{2\,k_U}\bigr)}{\,k_{dU}-k_{dD}\,}.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos:
\frac{k_D}{2\,k_U} =\frac{2}{2\times0{,}2}=0{,}2, \quad \ln(0{,}2)=-1{,}609, \quad k_{dU}-k_{dD}=5\times10^{-5}-10^{-4}=-5\times10^{-5}.
Logo
t =\frac{-(-1{,}609)}{-5\times10^{-5}} =\frac{1{,}609}{5\times10^{-5}} \approx3{,}22\times10^{4}\min.
Isso equivale a cerca de 3{,}22\times10^{4}/60\approx537 horas (aprox. 22 dias).

Resposta

Devemos repor o catalisador após aproximadamente 3,22\times10^{4} minutos (cerca de 22 dias).

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