A reação 2 A \rightarrow B+C segue uma cinética elementar catalisada por sólido. A reação, em fase gasosa, é conduzida em um reator batelada com volume de 1 \mathrm{dm}^{3} preenchido com 1 kg de catalisador. Sabe-se, entretanto, que o catalisador utilizado sofre desativação. A lei de decaimento é de ordem zero, com constante de decaimento \mathrm{k}_{\mathrm{d}}=0,05 \mathrm{~min}^{-1}. A constante de velocidade da reação é \mathrm{k}=0,01 \mathrm{dm}^{6} \cdot \mathrm{~kg}_{\mathrm{cat}}{ }^{-1} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} \cdot \mathrm{~min}^{-1} e 10 mols de A são introduzidos, inicialmente, no reator. Em quanto tempo o catalisador perderá sua funcionalidade? Qual a conversão obtida nesse tempo?

Passo 1

O enunciado trata de uma reação elementar catalisada em batelada de volume 1,d m^{3} com 1,kg de catalisador. A reação é
2A \longrightarrow B + C
com lei de velocidade elementar e desativação zero-ordem do catalisador. Precisamos (1) determinar o tempo em que a atividade do catalisador cai a zero e (2) calcular a conversão de A nesse instante.

Passo 2

A desativação segue lei zero-ordem:
\frac{da}{dt} = -k_d,
onde a é a atividade relativa a(0)=1 e k_d=0{,}05,mi n^{-}¹. Integrando-se de 0 a t,
a(t) = 1 - k_d\,t.
A funcionalidade some quando a(t_d)=0, logo
t_d = \frac{1}{k_d} = \frac{1}{0{,}05~\text{min}^{-1}} = 20~\text{min}.

Passo 3

A cinética elementar dá taxa de consumo de A por kg de catalisador:
r = k\,a(t)\,C_A^2,
com k=0{,}01,d m^{6}· kg_ca t^{-} ^{1}\cdotmo l^{-} ^{1}\cdotmi n^{-}¹. Em batelada, a variação de concentração de A é
\frac{dC_A}{dt} = -\nu_A\,\frac{m_{\rm cat}}{V}\,r
onde \nu_A=2, m_{\rm cat}=1,kg e V=1,d m^{3}, resultando em
\frac{dC_A}{dt} = -2\,k\,a(t)\,C_A^2.

Passo 4

Agora integramos de t=0 até t, e de C_{A0} até C_A(t). Começando por
\int_{C_{A0}}^{C_A} C_A^{-2}\,dC_A = -2\,k \int_{0}^{t} (1 - k_d\,\tau)\,d\tau.
O lado esquerdo dá -1/C_A + 1/C_{A0}. O lado direito é
-2k\Bigl[t - \tfrac{k_d}{2}\,t^2\Bigr].
Reagrupando,
\frac{1}{C_A} = \frac{1}{C_{A0}} + 2k\Bigl[t - \tfrac{k_d}{2}\,t^2\Bigr].

Passo 5

Inicialmente C_{A0}=10,mol/d m^{3}. No instante em que t=t_d=20,min, avalia-se
t - \tfrac{k_d}{2}t^2 = 20 - 0{,}025\times(20)^2 = 20 - 10 = 10,
2k\cdot 10 = 2\times 0{,}01\times 10 = 0{,}2,
\frac{1}{C_A(20)} = \frac{1}{10} + 0{,}2 = 0{,}3 \quad\longrightarrow\quad C_A(20) = \frac{1}{0{,}3} \approx 3{,}33~\mathrm{mol/dm^3}.
A conversão é
X = \frac{C_{A0} - C_A(20)}{C_{A0}} = \frac{10 - 3{,}33}{10} = 0{,}6667 \approx 66{,}7\%.

Resposta

Tempo de desativação completa: 20,min
Conversão de A nesse tempo: 66{,}7\%

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