A reação catalítica irreversível elementar em fase gasosa
A \xrightarrow{k_{1}} B
ocorre isotermicamente em um reator em batelada. A desativação catalítica segue uma lei de decaimento de primeira ordem e é independente das concentrações de A e de B.
(a) determine uma expressão geral para a atividade catalítica em função do tempo;
(b) faça um esquema qualitativo da atividade catalítica em função do tempo. Alguma vez a(t) é igual a zero para uma lei de decaimento de primeira ordem?
(c) deduza uma expressão para a conversão em função do tempo, dos parâmetros do reator e dos parâmetros do catalisador;
(d) calcule a conversão e a atividade catalítica no reator depois de 10 min a 300 K ;
(e) como você esperaria que seus resultados nos itens (b) e (d) mudassem se a reação ocorresse a 400 K? Descreva sucintamente, de forma qualitativa, as tendências;
(f) calcule a conversão e a atividade catalítica no reator depois de 10 min se a reação ocorresse a 400 K , em vez de 300 K. Os seus resultados coincidem com o previsto no item (e)?
Informações adicionais:
C }\mp@subsup{}{A0}{}=1\textrm{mol}/\mp@subsup{\textrm{dm}}{}{3
V}\mp@subsup{}{0}{}=1\mp@subsup{\textrm{dm}}{}{3
W = 1 kg
kd = 0,1 min-1 a 300 K
k = 0,2 dm 3 / (kg gat min) a 300 K
Ed/R = 2000 K
E A /R = 500 K

Passo 1

O enunciado descreve uma reação catalítica irreversível em batelada, A\to B, com cinética elementar de primeira ordem em A e desativação do catalisador também de primeira ordem, independente de concentrações. Para resolver precisamos: (1) a lei de decaimento de atividade catalítica, (2) integrar o balanço em batelada com atividade variável, (3) usar Arrhenius para avaliar temperatura.

Passo 2

A desativação de primeira ordem dá
\frac{da}{dt} = -k_d\,a(t).
Integramos com condição inicial a(0)=1:
a(t) = e^{-k_d\,t}.

Passo 3

Esquematicamente a(t) é um decaimento exponencial partindo de 1, aproximando-se de zero sem jamais alcançá-lo em tempo finito. Logo, para lei de primeira ordem, a(t)\to0 quando t\to\infty, mas a(t)\neq0 em t<\infty.

Passo 4

No batelada valem
-\frac{dC_A}{dt} = k\,a(t)\,\frac{W}{V}\,C_A
com W/V=1. Então
\frac{dC_A}{C_A} = -k\,e^{-k_d t}\,dt
e, integrando de 0 a t,
C_A(t)=C_{A0}\exp\!\Bigl(-k\int_0^te^{-k_d\tau}d\tau\Bigr) =C_{A0}\exp\!\Bigl(-\frac{k}{k_d}(1-e^{-k_d t})\Bigr).
A conversão é
X(t)=1-\frac{C_A(t)}{C_{A0}} =1-\exp\!\Bigl(-\frac{k}{k_d}(1-e^{-k_d t})\Bigr).

Passo 5

Para 300 K: k_d=0.1,min ^{-1}, k=0.2,dm ^3/(k g\cdot min), t=10,min.
a(10)=e^{-0.1\cdot10}=e^{-1}=0{,}3679,
X(10)=1-\exp\bigl(-\tfrac{0.2}{0.1}(1-e^{-1})\bigr) =1-\exp(-1{,}2642)=0{,}7174.

Passo 6

A 400 K tanto k_d quanto k crescem pela lei de Arrhenius:
k_d(400)=k_d(300)\,e^{-E_d/R(1/400-1/300)}, \quad k(400)=k(300)\,e^{-E_A/R(1/400-1/300)}.
Espera-se desativação muito mais rápida (atividade bem menor em 10 min) e aumento moderado de k. O efeito de desativação tende a reduzir a conversão em 10 min, apesar de k maior.

Passo 7

Calculando:
k_d(400)=0{,}1\,e^{-2000(1/400-1/300)}\approx0{,}5295\;\text{min}^{-1}, \quad k(400)=0{,}2\,e^{-500(1/400-1/300)}\approx0{,}3034.

Passo 8

Em 400 K e 10 min:
a(10)=e^{-0.5295\cdot10}=e^{-5{,}295}\approx0{,}0050,
X(10)=1-\exp\!\Bigl(-\tfrac{0.3034}{0.5295}(1-e^{-5{,}295})\Bigr) \approx1-\exp(-0.5707)=0{,}4349.

Resposta

(a) \displaystyle a(t)=e^{-k_d t}.
(b) a(t) decai exponencialmente de 1 a 0 quando t\to\infty; nunca atinge zero em tempo finito.
(c) \displaystyle X(t)=1-\exp\!\bigl(-\tfrac{k}{k_d}(1-e^{-k_d t})\bigr).
(d) Em 300 K e 10 min: a=0{,}3679, X=0{,}7174.
(e) A 400 K k_d aumenta fortemente (atividade cai mais rápido), k aumenta moderadamente; portanto a(10) será muito menor e X(10) provavelmente menor do que em 300 K.
(f) Em 400 K e 10 min: a\approx0{,}0050, X\approx0{,}4349, condizente com a previsão qualitativa.

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