Considere a reação em série
sendo realizada em um reator batelada a volume constante. Inicialmente, apenas o reagente
está presente (
). A reação
é de primeira ordem e tem constante de velocidade
, enquanto que a reação
é de ordem zero (
). a) Obtenha o perfil de concentração de todos os componentes em função do tempo; b) determine a concentração máxima de R nesta reação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma reação em série onde o reagente A se transforma em R e, depois, R se transforma em S. Isso tudo acontece em um reator batelada com volume constante. Inicialmente, só temos A na concentração $ C_{A0} $. A primeira reação (A → R) é de primeira ordem, com constante de velocidade $ k_1 $, e a segunda reação (R → S) é de ordem zero, com constante $ k_0 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinética química, aplicando as leis de velocidade para cada etapa da reação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as expressões das taxas de consumo e formação de cada espécie:
-
Para A: A é consumido na transformação A → R.
-
Para R: R é formado na primeira reação e consome na segunda.
-
Para S: S é formado a partir de R.
Passo 3
Vamos resolver a equação para $ C_A(t) $. É uma equação diferencial de primeira ordem:
A solução dessa equação é:
Passo 4
Agora, vamos resolver para $ C_R(t) $. Temos:
Para resolver essa equação, integramos em relação ao tempo:
Como $ C_R(0) = 0 $ (inicialmente não há R), obtemos a constante de integração $ C = C_{A0} $. Portanto:
Passo 5
Para $ C_S(t) $, temos:
Integrando:
Como inicialmente não há S, $ C_S(0) = 0 $, então $ C = 0 $. Logo:
Passo 6
Agora, para encontrar a concentração máxima de R, $ C_R $ deve atingir um pico. Isso ocorre quando a derivada de $ C_R(t) $ em relação ao tempo é zero:
Substituindo $ C_A(t) $:
Tomando o logaritmo natural:
Agora, substituímos esse tempo na expressão de $ C_R(t) $ para encontrar a concentração máxima.
Resposta
A concentração máxima de R é:
Simplificando: