Considere a reação em série A R S sendo realizada em um reator batelada a volume constante. Inicialmente, apenas o reagente A está presente ( CA circ ). A reação A R é de primeira ordem e tem constante de velocidade k1, enquanto que a reação R S é de ordem zero ( k0 ). a) Obtenha o perfil de concentração de todos os componentes em função do tempo; b) determine a concentração máxima de R nesta reação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma reação em série onde o reagente A se transforma em R e, depois, R se transforma em S. Isso tudo acontece em um reator batelada com volume constante. Inicialmente, só temos A na concentração $ C_{A0} $. A primeira reação (A → R) é de primeira ordem, com constante de velocidade $ k_1 $, e a segunda reação (R → S) é de ordem zero, com constante $ k_0 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinética química, aplicando as leis de velocidade para cada etapa da reação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as expressões das taxas de consumo e formação de cada espécie:
  • Para A: A é consumido na transformação A → R.
    dCAdt = -k1 CA
  • Para R: R é formado na primeira reação e consome na segunda.
    dCRdt = k1 CA - k0
  • Para S: S é formado a partir de R.
    dCSdt = k0

Passo 3

Vamos resolver a equação para $ C_A(t) $. É uma equação diferencial de primeira ordem:
CA(t)
A solução dessa equação é:
dCAdt = -k1 CA

Passo 4

Agora, vamos resolver para $ C_R(t) $. Temos:
CR(t)
Para resolver essa equação, integramos em relação ao tempo:
dCRdt = k1 CA - k0 = k1 CA0 e^-k1 t - k0
Como $ C_R(0) = 0 $ (inicialmente não há R), obtemos a constante de integração $ C = C_{A0} $. Portanto:
CR(t) = integral (k1 CA0 e^-k1 t - k0) dt = -CA0 e^-k1 t - k0 t + C

Passo 5

Para $ C_S(t) $, temos:
CS(t)
Integrando:
dCSdt = k0
Como inicialmente não há S, $ C_S(0) = 0 $, então $ C = 0 $. Logo:
CS(t) = k0 t + C

Passo 6

Agora, para encontrar a concentração máxima de R, $ C_R $ deve atingir um pico. Isso ocorre quando a derivada de $ C_R(t) $ em relação ao tempo é zero:
CR
Substituindo $ C_A(t) $:
CR(t)
Tomando o logaritmo natural:
dCRdt = k1 CA - k0 = 0 Rightarrow k1 CA = k0
Agora, substituímos esse tempo na expressão de $ C_R(t) $ para encontrar a concentração máxima.

Resposta

A concentração máxima de R é:
CRmáx = CA0 (1 - k0k1 CA0) - k0 (-1k1 ln(k0k1 CA0)) á
Simplificando:
CRmáx = CA0 - k0k1 - k0k1 ln(k0k1 CA0) á

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