Considere as reações paralelas abaixo:
As energias de ativação são 45,3 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1} para \mathrm{k}_{1} e 69,8 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1} para \mathrm{k}_{2}. Se as constantes de velocidade são iguais quando a temperatura é 320 K , em qual temperatura (em Kelvin) \mathrm{k}_{1} / \mathrm{k}_{2} será igual a 2,00 ?

Passo 1

O enunciado descreve duas reações paralelas com constantes de velocidade \,k_1 e \,k_2 que obedecem à lei de Arrhenius. As energias de ativação são \,E_{a1}=45{,}3\\ \mathrm{kJ/mol} e \,E_{a2}=69{,}8\\ \mathrm{kJ/mol}.
Sabe-se que em T_0=320\\ \mathrm K vale \,k_1=k_2, e pergunta-se a temperatura T em que \,k_1/k_2=2{,}00.

Passo 2

Escrevemos as constantes pela forma de Arrhenius:
k_i = A_i \exp\!\Bigl(-\frac{E_{ai}}{R\,T}\Bigr)\quad(i=1,2).
O quociente geral é
\frac{k_1}{k_2} = \frac{A_1}{A_2} \exp\!\Bigl(-\frac{E_{a1}}{R\,T}+\frac{E_{a2}}{R\,T}\Bigr) = \frac{A_1}{A_2} \exp\!\Bigl(\frac{E_{a2}-E_{a1}}{R\,T}\Bigr).

Passo 3

Como em T_0 temos k_1=k_2, ou seja \,k_1/k_2=1 em T_0, isso impõe
1 = \frac{A_1}{A_2} \exp\!\Bigl(\frac{E_{a2}-E_{a1}}{R\,T_0}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{A_1}{A_2} = \exp\!\Bigl(-\frac{E_{a2}-E_{a1}}{R\,T_0}\Bigr).
Substituindo de volta no quociente em T, obtemos
\frac{k_1}{k_2} = \exp\!\Bigl(-\frac{E_{a2}-E_{a1}}{R\,T_0}\Bigr) \exp\!\Bigl(\frac{E_{a2}-E_{a1}}{R\,T}\Bigr) = \exp\!\Bigl(\frac{E_{a2}-E_{a1}}{R}\bigl(\tfrac1T-\tfrac1{T_0}\bigr)\Bigr).

Passo 4

Queremos \,k_1/k_2=2. Logo
2 = \exp\!\Bigl(\frac{E_{a2}-E_{a1}}{R}\bigl(\tfrac1T-\tfrac1{T_0}\bigr)\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{E_{a2}-E_{a1}}{R}\bigl(\tfrac1T-\tfrac1{T_0}\bigr) = \ln 2.
Chamando \Delta E = E_{a2}-E_{a1} = (69{,}8 - 45{,}3)\,\mathrm{kJ/mol} = 24{,}5\times10^3\\ \mathrm{J/mol}, isolamos 1/T:
\frac1T = \frac1{T_0} - \frac{R\,\ln2}{\Delta E}.

Passo 5

Substituindo valores numéricos ( R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}, \,T_0=320\\ \mathrm K, \ln2\approx0{,}6931):
\frac1T = \frac1{320} - \frac{8{,}314\times0{,}6931}{24{,}5\times10^3} = 0{,}003125 - 0{,}0002354 = 0{,}0028896\\ \mathrm K^{-1}.
Então
T = \frac1{0{,}0028896}\approx345{,}96\\ \mathrm K.

Resposta

A temperatura em que \,k_1/k_2=2{,}00 é aproximadamente 346\\ \mathrm K.

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