Seja
a distância entre átomos vizinhos mais próximos numa rede cúbica de faces centradas. A energia da rede é
.
(a) Relacione a pressão externa
.
(b) Sendo o módulo de compressibilidade
definido por
onde
é o volume, expresse
em função de derivadas de
. [Recorde que trabalho realizado numa compressão é
.]
(c) Repita o exercício para uma rede cúbica simples.
(a) Relacione a pressão externa
(b) Sendo o módulo de compressibilidade
(c) Repita o exercício para uma rede cúbica simples.
Passo 1
O enunciado dá a energia da rede
em função da distância entre vizinhos mais próximos
e pede:
- A pressão externa
em termos de . - O módulo de compressibilidade
expressa em derivadas de
.
3. Repetir (a) e (b) para rede cúbica simples.
3. Repetir (a) e (b) para rede cúbica simples.
Conteúdo: relações termodinâmicas
,
e
. Vamos precisar também da relação entre o volume por átomo
e
em cada tipo de rede.
Passo 2
Em geral, para uma rede cujo volume por átomo é
, a variação infinitesimal de energia
a trabalho reversível satisfaz
Logo, isolando
,
Passo 3
Rede cúbica de faces centradas (FCC):
- Lado do cubo:
. - Nearest-neighbor distance:
, logo . - Volume da cela unitária:
. - Há 4 átomos por cela, então o volume por átomo é
Passo 4
Calcular
na FCC:
Uma forma equivalente é
Passo 5
Agora o módulo de compressibilidade
Usando a regra da cadeia
e as expressões acima, chega-se a
Substituindo
se desejar o resultado explícito em
.
Passo 6
Para rede cúbica simples (SC):
- Nearest-neighbor distance
. - Volume por átomo
. -
.
Logo
Resposta
(a) Em FCC:
(b)
com
.
(c) Para cúbica simples:
(c) Para cúbica simples: