Exemplo 19.09 Trabalho realizado por um gás em uma expansão adiabática

A pressão e o volume iniciais de um gás diatômico ideal são p_{i}=2,00 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} e V_{i}=4,00 \times 10^{26} \mathrm{~m}^{3}. Qual é o trabalho W realizado pelo gás e qual é a variação \Delta E_{\text {int }} da energia interna se o gás sofre uma expansão adiabática até atingir o volume V_{f}= 8,00 \times 10^{26} \mathrm{~m}^{3} ? Suponha que as moléculas giram, mas não oscilam, durante o processo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: qual é o trabalho realizado pelo gás durante a expansão adiabática e qual é a variação da energia interna do gás. Os dados fornecidos são:
p_{i}=2{,}00\times10^{5}\\ \text{Pa},\qquad V_{i}=4{,}00\times10^{26}\\ \text{m}^{3},\qquad V_{f}=8{,}00\times10^{26}\\ \text{m}^{3}.
Observação: o gás é diatômico, com rotação ativa mas sem oscilações vibracionais.

Passo 2

Primeiro precisamos do valor de \gamma (razão entre capacidades térmicas). Para um gás diatômico sem vibração temos f=5 graus de liberdade (3 translação + 2 rotação). As capacidades molares são
c_{v}=\frac{f}{2}R=\frac{5}{2}R,\qquad c_{p}=c_{v}+R=\frac{7}{2}R,
portanto
\gamma=\frac{c_{p}}{c_{v}}=\frac{7/2}{5/2}=\frac{7}{5}=1{,}4.

Passo 3

Para um processo adiabático reversível do gás ideal vale a relação
pV^{\gamma}=\text{const}.
Usamos isso para encontrar a pressão final \,p_{f}\,:
p_{f}=p_{i}\left(\frac{V_{i}}{V_{f}}\right)^{\gamma}.
Como V_{f}=2V_{i}, temos \dfrac{V_{i}}{V_{f}}=\tfrac{1}{2}. Calculamos
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1{,}4}=2^{-1{,}4}\approx e^{-1{,}4\ln 2}\approx e^{-1{,}4\cdot0{,}693147}\approx e^{-0{,}9704}\approx0{,}37893.
Logo
p_{f}=2{,}00\times10^{5}\times0{,}37893\approx7{,}58\times10^{4}\\ \text{Pa}.

Passo 4

Agora precisamos do trabalho W feito pelo gás. A definição é
W=\int_{V_{i}}^{V_{f}} p\,dV.
Usando p=C\,V^{-\gamma} com C=p_{i}V_{i}^{\gamma},
W=C\int_{V_{i}}^{V_{f}} V^{-\gamma}\,dV = \frac{C}{1-\gamma}\left(V_{f}^{\,1-\gamma}-V_{i}^{\,1-\gamma}\right).
Multiplicando e reorganizando (usando C=pV^{\gamma} para avaliar os termos) obtém-se a forma prática
W=\frac{p_{i}V_{i}-p_{f}V_{f}}{\gamma-1}.
(É a mesma expressão que vem ao simplificar a integral; note que \gamma>1.)

Passo 5

Calculemos os produtos pV iniciais e finais. Primeiro o inicial:
p_{i}V_{i}=2{,}00\times10^{5}\times4{,}00\times10^{26}=8{,}00\times10^{31}\\ \text{J}.
Agora o final, usando o p_{f} encontrado:
p_{f}V_{f}\approx7{,}58\times10^{4}\times8{,}00\times10^{26}\approx6{,}06\times10^{31}\\ \text{J}.

Passo 6

Substituindo na fórmula do trabalho:
W=\frac{p_{i}V_{i}-p_{f}V_{f}}{\gamma-1} =\frac{8{,}00\times10^{31}-6{,}06\times10^{31}}{1{,}4-1} =\frac{1{,}94\times10^{31}}{0{,}4}\approx4{,}84\times10^{31}\\ \text{J}.
O sinal positivo significa que o gás realizou trabalho sobre o ambiente (expansão).

Passo 7

Para a variação da energia interna usamos a primeira lei da termodinâmica:
\Delta E_{\text{int}}=Q-W.
Em um processo adiabático Q=0, então
\Delta E_{\text{int}}=-W.
Portanto
\Delta E_{\text{int}}\approx-4{,}84\times10^{31}\\ \text{J}.
Isso significa que a energia interna do gás diminuiu — fazia sentido: ao realizar trabalho na expansão sem receber calor, a energia interna cai.

Resposta

W=4{,}84\times10^{31}\\ \text{J}
\Delta E_{\text{int}}=-4{,}84\times10^{31}\\ \text{J}

Exercícios relacionados