Exemplo 19.09 Trabalho realizado por um gás em uma expansão adiabática
A pressão e o volume iniciais de um gás diatômico ideal são
e
. Qual é o trabalho
realizado pelo gás e qual é a variação
da energia interna se o gás sofre uma expansão adiabática até atingir o volume
? Suponha que as moléculas giram, mas não oscilam, durante o processo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: qual é o trabalho realizado pelo gás durante a expansão adiabática e qual é a variação da energia interna do gás. Os dados fornecidos são:
Observação: o gás é diatômico, com rotação ativa mas sem oscilações vibracionais.
Passo 2
Primeiro precisamos do valor de
(razão entre capacidades térmicas). Para um gás diatômico sem vibração temos
graus de liberdade (3 translação + 2 rotação). As capacidades molares são
portanto
Passo 3
Para um processo adiabático reversível do gás ideal vale a relação
Usamos isso para encontrar a pressão final
:
Como
, temos
. Calculamos
Logo
Passo 4
Agora precisamos do trabalho
feito pelo gás. A definição é
Usando
com
,
Multiplicando e reorganizando (usando
para avaliar os termos) obtém-se a forma prática
(É a mesma expressão que vem ao simplificar a integral; note que
.)
Passo 5
Calculemos os produtos
iniciais e finais. Primeiro o inicial:
Agora o final, usando o
encontrado:
Passo 6
Substituindo na fórmula do trabalho:
O sinal positivo significa que o gás realizou trabalho sobre o ambiente (expansão).
Passo 7
Para a variação da energia interna usamos a primeira lei da termodinâmica:
Em um processo adiabático
, então
Portanto
Isso significa que a energia interna do gás diminuiu — fazia sentido: ao realizar trabalho na expansão sem receber calor, a energia interna cai.