Uma pequena bobina tem autoindutância de 10 \mu H. Uma corrente senoidal de amplitude 0,1 \mathrm{~A} e frequência 1 kHz passa através da bobina.
Qual a tensão se a frequência mudar para 100 kHz .

Passo 1

O enunciado informa que uma bobina possui autoindutância L=10\\ \mu\mathrm{H} e é percorrida por uma corrente senoidal de amplitude I_m=0,1\\ \mathrm{A}. A questão solicita a determinação da amplitude da tensão na bobina quando a frequência é f=100\\ \mathrm{kHz}. As informações fornecidas são:
L=10\\ \mu\mathrm{H}=10\times10^{-6}\\ \mathrm{H},
I_m=0,1\\ \mathrm{A},
f=100\\ \mathrm{kHz}=100\times10^{3}\\ \mathrm{Hz}.
O objetivo é calcular a amplitude da tensão induzida na bobina para a frequência especificada.

Passo 2

Para uma bobina ideal, a tensão instantânea v(t) é dada por
v(t)=L\frac{di(t)}{dt},
onde L é a indutância e \frac{di}{dt} é a taxa de variação da corrente. Se a corrente for senoidal de amplitude I_m e frequência angular \omega, temos
i(t)=I_m\sin(\omega t).
A derivada é
\frac{di(t)}{dt}=I_m\omega\cos(\omega t).
Substituindo em v(t)=L\,di/dt obtemos
v(t)=L I_m \omega \cos(\omega t).
Portanto, a amplitude da tensão é
V_m = L I_m \omega.
Como \omega=2\pi f, a fórmula se torna:
V_m = 2\pi f L I_m.
onde:
  • L é a indutância em henry ( \mathrm{H}),
  • I_m é a amplitude da corrente em ampere ( \mathrm{A}),
  • f é a frequência em hertz ( \mathrm{Hz}),
  • V_m é a amplitude da tensão em volt ( \mathrm{V}).
    Essa fórmula indica que a tensão varia linearmente com a frequência.

Passo 3

Calculando \omega para f=100\\ \mathrm{kHz}:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot100\times10^{3}=200000\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Usando \pi\approx3,14159, temos
\omega \approx 628318{,}53\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calculando o produto L I_m:
L I_m = \left(10\times10^{-6}\\ \mathrm{H}\right)\cdot\left(0,1\\ \mathrm{A}\right)=1\times10^{-6}\\ \mathrm{H}\cdot\mathrm{A}.

Passo 5

Aplicando a fórmula V_m = L I_m \omega com L I_m=1\times10^{-6} e \omega\approx628318{,}53\\ \mathrm{rad/s}, obtemos a amplitude da tensão.

Passo 6

Se a frequência fosse f=1\\ \mathrm{kHz}, a tensão seria 100 vezes menor, pois \omega seria 100 vezes menor, ilustrando que indutores geram tensões maiores com variações de corrente mais rápidas (frequências mais altas).

Resposta

V_m \approx 0,628\\ \mathrm{V}

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