Considere os referenciais S e S^{\prime} em configuração padrão. No referencial S, o evento 1 ocorre em x_{1}=1 ano-luz e t_{1}=1 ano e o evento 2 ocorre em x_{2}=2 anos-luz e t_{2}=0,5 ano. Os eventos ocorrem simultaneamente no referencial S^{\prime}. (a) Determine o módulo e a direção da velocidade de S^{\prime} em relação a S. (b) Em que instante os eventos ocorrem no referencial S '? (c) Calcule o intervalo no espaço-tempo \Delta s entre os eventos. (d) O intervalo é do tipo espaço, tipo tempo ou tipo luz? (e) Qual é a distância própria L_{p} entre os eventos? (f) Represente os eventos e os sistemas S e S^{\prime} em um diagrama espaço tempo.
Passo 1
O enunciado nos dá dois eventos no referencial S\) em configuração padrão (eixos coincidentes em \(t=t'=0\), \(S'\) movendo-se ao longo de \(x\) com velocidade \(v\)). No sistema \(S\):
\[\begin{cases} x_1 = 1\text{ ano-luz},\quad t_1 = 1\text{ ano},\\\ x_2 = 2\text{ anos-luz},\quad t_2 = 0{,}5\text{ ano}. \end{cases}
Sabemos que em S'\] esses dois eventos ocorrem simultaneamente \(t'_1 = t'_2. Vamos usar a transformação de Lorentz para encontrar:
(a) v e sua direção,
(b) o instante comum t',
(c) o intervalo de espaço-tempo \Delta s,
(d) a classificação do intervalo,
(e) a distância própria L_p,
(f) o diagrama espaço-tempo.
Passo 2
Para (a) escrevemos a transformação de tempo em configuração padrão:
Para (f), no diagrama espaço-tempo em S:
— eixo horizontal x, vertical t.
— Marque E_1 em (x_1=1,\;t_1=1) e E_2 em (2,\;0{,}5).
— A reta x' (onde t'=0) obedece t = \tfrac{v}{c^2}x = -0{,}5\,x, inclinada descendo para a direita.
— A reta t' (onde x'=0) obedece x = v\,t = -0{,}5\,t, inclinada para a esquerda a partir da origem.
— Os dois eventos caem sobre uma linha paralela ao eixo x', pois têm o mesmo t'.
Resposta
(a) \displaystyle v = -0{,}5\,c, módulo 0{,}5\,c, sentido negativo de x.
(b) \displaystyle t' = 1{,}732\text{ anos}.
(c) \displaystyle \Delta s^2 = -0{,}75\;(\text{ano-luz})^2,\quad \Delta s = 0{,}866\text{ ano-luz}.
(d) Intervalo de tipo espaço.
(e) \displaystyle L_p = 0{,}866\text{ ano-luz}.
(f) Diagrama conforme descrição em # Passo 7.