Considere os referenciais S e S^{\prime} em configuração padrão. No referencial S, o evento 1 ocorre em x_{1}=1 ano-luz e t_{1}=1 ano e o evento 2 ocorre em x_{2}=2 anos-luz e t_{2}=0,5 ano. Os eventos ocorrem simultaneamente no referencial S^{\prime}. (a) Determine o módulo e a direção da velocidade de S^{\prime} em relação a S. (b) Em que instante os eventos ocorrem no referencial S '? (c) Calcule o intervalo no espaço-tempo \Delta s entre os eventos. (d) O intervalo é do tipo espaço, tipo tempo ou tipo luz? (e) Qual é a distância própria L_{p} entre os eventos? (f) Represente os eventos e os sistemas S e S^{\prime} em um diagrama espaço tempo.

Passo 1

O enunciado nos dá dois eventos no referencial S\) em configuração padrão (eixos coincidentes em \(t=t'=0\), \(S'\) movendo-se ao longo de \(x\) com velocidade \(v\)). No sistema \(S\): \[\begin{cases} x_1 = 1\text{ ano-luz},\quad t_1 = 1\text{ ano},\\\ x_2 = 2\text{ anos-luz},\quad t_2 = 0{,}5\text{ ano}. \end{cases}
Sabemos que em S'\] esses dois eventos ocorrem simultaneamente \(t'_1 = t'_2. Vamos usar a transformação de Lorentz para encontrar:
(a) v e sua direção,
(b) o instante comum t',
(c) o intervalo de espaço-tempo \Delta s,
(d) a classificação do intervalo,
(e) a distância própria L_p,
(f) o diagrama espaço-tempo.

Passo 2

Para (a) escrevemos a transformação de tempo em configuração padrão:
t'_i \;=\;\gamma\Bigl(t_i-\frac{v\,x_i}{c^2}\Bigr),
onde \gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}. A simultaneidade em S' implica
t'_1 = t'_2 \;\Longrightarrow\; t_1-\frac{v\,x_1}{c^2} \;=\; t_2-\frac{v\,x_2}{c^2} \;\Longrightarrow\; v\,\frac{x_1 - x_2}{c^2} = t_1 - t_2.
Logo
v = \frac{c^2\,(t_1 - t_2)}{\,x_1 - x_2\,}.
Substituindo c=1 (ano-luz/ano), t_1=1, t_2=0{,}5, x_1=1, x_2=2, vem
v = \frac{1-0{,}5}{1-2}\,c = \frac{0{,}5}{-1}\,c = -0{,}5\,c.
O módulo da velocidade é \bigl|v\bigr|=0{,}5\,c e o sinal negativo indica que S' se move em direção negativa de x.

Passo 3

Para (b) achamos o instante comum t' = t'_1 = t'_2. Primeiro calculamos
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0{,}5)^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}75}} \approx 1{,}1547.
Então, por exemplo em i=1,
t' = \gamma\Bigl(t_1 - \frac{v\,x_1}{c^2}\Bigr) = 1{,}1547\Bigl(1 - (-0{,}5)\cdot1\Bigr) = 1{,}1547\cdot1{,}5 \approx 1{,}732\text{ anos}.

Passo 4

Para (c) o intervalo entre eventos é
\Delta s^2 = c^2\,(t_2-t_1)^2 - (x_2-x_1)^2.
Com c=1, \Delta t = t_2-t_1 = -0{,}5, \Delta x = 1, temos
\Delta s^2 = (-0{,}5)^2 - (1)^2 = 0{,}25 - 1 = -0{,}75\;(\text{ano-luz})^2,
e
\Delta s = \sqrt{\bigl|\Delta s^2\bigr|} = \sqrt{0{,}75}\approx0{,}866\;\text{ano-luz}.

Passo 5

Para (d), como \Delta s^2<0, o intervalo é de tipo espaço (espacelike).

Passo 6

Para (e), a distância própria L_p entre eventos (seus pontos são simultâneos em algum referencial, aqui em S') é
L_p = \sqrt{\Delta x^2 - c^2\,\Delta t^2} = \sqrt{1^2 - (-0{,}5)^2} = \sqrt{0{,}75} \approx0{,}866\;\text{ano-luz}.

Passo 7

Para (f), no diagrama espaço-tempo em S:
— eixo horizontal x, vertical t.
— Marque E_1 em (x_1=1,\;t_1=1) e E_2 em (2,\;0{,}5).
— A reta x' (onde t'=0) obedece t = \tfrac{v}{c^2}x = -0{,}5\,x, inclinada descendo para a direita.
— A reta t' (onde x'=0) obedece x = v\,t = -0{,}5\,t, inclinada para a esquerda a partir da origem.
— Os dois eventos caem sobre uma linha paralela ao eixo x', pois têm o mesmo t'.

Resposta

(a) \displaystyle v = -0{,}5\,c, módulo 0{,}5\,c, sentido negativo de x.
(b) \displaystyle t' = 1{,}732\text{ anos}.
(c) \displaystyle \Delta s^2 = -0{,}75\;(\text{ano-luz})^2,\quad \Delta s = 0{,}866\text{ ano-luz}.
(d) Intervalo de tipo espaço.
(e) \displaystyle L_p = 0{,}866\text{ ano-luz}.
(f) Diagrama conforme descrição em # Passo 7.

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