Usando que
e similarmente para as componentes
e
da aceleração, use as transformações de Lorentz para o intervalo infinitesimal
e para as velocidades, para provar que as transformações de Lorentz para as componentes da aceleração podem ser dadas por:
e a direção
tem uma expressão similar à da direção y. Comente sobre a diferença que existe para as expressões correspondentes nas transformações de Galileu.
Passo 1
O enunciado pede para obter as regras de transformação das componentes da aceleração entre dois referenciais em movimento relativo com velocidade constante
segundo a mecânica relativística. Vamos usar:
- As transformações de Lorentz para intervalo de tempo e posições infinitesimais,
- As fórmulas de adição de velocidades
- O fato de
Passo 2
Primeiro encontramos
em função de
e da componente longitudinal
. Da transformação de Lorentz para o tempo:
onde
e
. Logo
Passo 3
Agora a componente
. A velocidade transformada é
Calculamos primeiro
Dividindo por
vem
Passo 4
Para a componente
(transversal) usamos
Diferenciando em relação a
:
Dividindo por
obtemos
A componente
segue idêntico raciocínio da
, trocando
por
.
Passo 5
Em contraste, na transformação de Galileu temos
e
(só muda a componente longitudinal), de modo que
para todas as direções. Ou seja, na mecânica clássica a aceleração é invariante entre referenciais em movimento uniforme, o que não ocorre na relatividade.
Resposta
e de modo análogo
Na transformação de Galileu temos simplesmente
.