Usando que
a_{x}^{\prime}=\frac{d u_{x}^{\prime}}{d t^{\prime}}
e similarmente para as componentes y e z da aceleração, use as transformações de Lorentz para o intervalo infinitesimal d t e para as velocidades, para provar que as transformações de Lorentz para as componentes da aceleração podem ser dadas por:
a_{x}^{\prime}=\frac{a_{x}}{\gamma^{3}\left(1-\frac{v u_{x}}{c^{2}}\right)^{3}} \quad a_{y}^{\prime}=\frac{a_{y}}{\gamma^{2}\left(1-\frac{v u_{x}}{c^{2}}\right)^{2}}-\frac{a_{x} u_{y} \frac{v}{c^{2}}}{\gamma^{2}\left(1-\frac{v u_{x}}{c^{2}}\right)^{3}}
e a direção z tem uma expressão similar à da direção y. Comente sobre a diferença que existe para as expressões correspondentes nas transformações de Galileu.

Passo 1

O enunciado pede para obter as regras de transformação das componentes da aceleração entre dois referenciais em movimento relativo com velocidade constante v segundo a mecânica relativística. Vamos usar:
  1. As transformações de Lorentz para intervalo de tempo e posições infinitesimais,
  2. As fórmulas de adição de velocidades
  3. O fato de
a_i'=\frac{d u_i'}{d t'}\quad(i=x,y,z).

Passo 2

Primeiro encontramos d t' em função de d t e da componente longitudinal u_x. Da transformação de Lorentz para o tempo:
d t'=\gamma\Bigl(d t-\frac{v\,d x}{c^2}\Bigr) =\gamma\Bigl(1-\frac{v u_x}{c^2}\Bigr)d t,
onde \gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2} e u_x=dx/dt. Logo
\frac{d t'}{d t} =\gamma\Bigl(1-\frac{v u_x}{c^2}\Bigr).

Passo 3

Agora a componente x. A velocidade transformada é
u_x'=\frac{u_x-v}{1-\dfrac{v u_x}{c^2}}.
Calculamos primeiro
\frac{d u_x'}{d t} =\frac{a_x\bigl(1-\frac{v u_x}{c^2}\bigr)\;-\;(u_x-v)\bigl(-\frac{v a_x}{c^2}\bigr)}{\bigl(1-\frac{v u_x}{c^2}\bigr)^2} =\frac{a_x\bigl(1-\frac{v^2}{c^2}\bigr)}{\bigl(1-\frac{v u_x}{c^2}\bigr)^2} =\frac{a_x}{\gamma^2\bigl(1-\frac{v u_x}{c^2}\bigr)^2}.
Dividindo por d t'/d t vem
a_x'=\frac{\dfrac{d u_x'}{d t}}{\dfrac{d t'}{d t}} =\frac{\dfrac{a_x}{\gamma^2\bigl(1-\frac{v u_x}{c^2}\bigr)^2}} {\gamma\bigl(1-\frac{v u_x}{c^2}\bigr)} =\frac{a_x}{\gamma^3\bigl(1-\frac{v u_x}{c^2}\bigr)^3}.

Passo 4

Para a componente y (transversal) usamos
u_y'=\frac{u_y}{\gamma\bigl(1-\frac{v u_x}{c^2}\bigr)}.
Diferenciando em relação a t:
\frac{d u_y'}{d t} =\frac{1}{\gamma}\, \frac{a_y\bigl(1-\frac{v u_x}{c^2}\bigr)-u_y\bigl(-\frac{v a_x}{c^2}\bigr)} {\bigl(1-\frac{v u_x}{c^2}\bigr)^2} =\frac{a_y\bigl(1-\frac{v u_x}{c^2}\bigr)+u_y\frac{v a_x}{c^2}} {\gamma\bigl(1-\frac{v u_x}{c^2}\bigr)^2}.
Dividindo por d t'/d t obtemos
a_y' =\frac{\dfrac{d u_y'}{d t}}{\dfrac{d t'}{d t}} =\frac{a_y\bigl(1-\frac{v u_x}{c^2}\bigr)+u_y\frac{v a_x}{c^2}} {\gamma^2\bigl(1-\frac{v u_x}{c^2}\bigr)^3} =\frac{a_y}{\gamma^2\bigl(1-\frac{v u_x}{c^2}\bigr)^2} -\frac{a_x\,u_y\,\frac{v}{c^2}}{\gamma^2\bigl(1-\frac{v u_x}{c^2}\bigr)^3}.
A componente z segue idêntico raciocínio da y, trocando u_y,a_y por u_z,a_z.

Passo 5

Em contraste, na transformação de Galileu temos t'=t e u_i'=u_i\pm v (só muda a componente longitudinal), de modo que \,a_i'=d u_i'/dt=d u_i/dt=a_i\, para todas as direções. Ou seja, na mecânica clássica a aceleração é invariante entre referenciais em movimento uniforme, o que não ocorre na relatividade.

Resposta

a_x'=\frac{a_x}{\gamma^3\bigl(1-\frac{v u_x}{c^2}\bigr)^3}, \quad a_y'=\frac{a_y}{\gamma^2\bigl(1-\frac{v u_x}{c^2}\bigr)^2} -\frac{a_x\,u_y\,\frac{v}{c^2}}{\gamma^2\bigl(1-\frac{v u_x}{c^2}\bigr)^3},
e de modo análogo
a_z'=\frac{a_z}{\gamma^2\bigl(1-\frac{v u_x}{c^2}\bigr)^2} -\frac{a_x\,u_z\,\frac{v}{c^2}}{\gamma^2\bigl(1-\frac{v u_x}{c^2}\bigr)^3}.
Na transformação de Galileu temos simplesmente a_i'=a_i.

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