Considere a reflexão R com relação ao plano de equação " x+y+z=0 ". Quais são os autovalores e autoespaços correspondentes?
Passo 1
O enunciado dá uma reflexão linear R em \mathbb{R}^3 em relação ao plano de equação x+y+z=0. As perguntas são:
Quais são os autovalores (valores próprios) de R?
Quais são os autoespaços (espaços próprios) correspondentes a cada autovalor?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
O plano de reflexão é o conjunto \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y+z=0\}.
A normal ao plano (vetor perpendicular ao plano) é n=(1,1,1) (pode ser usado sem normalizar).
A transformação R é a reflexão em relação a esse plano (isto é, pontos do plano ficam fixos, e a componente na direção normal é invertida).
Passo 2
Ideia útil (decomposição ortogonal e fórmula da reflexão). Qualquer vetor v\in\mathbb{R}^3 pode ser decomposto em parcela paralela ao plano e parcela perpendicular ao plano. Seja u o vetor normal unitário ao plano; então
v = v_{\parallel} + v_{\perp},
onde v_{\perp}=(v\cdot u)u é a projeção de v sobre u e v_{\parallel}=v-v_{\perp} é a componente no plano. A reflexão em relação ao plano deixa v_{\parallel} inalterado e troca o sinal de v_{\perp}. Logo a ação de R é
o que é equivalente a Jv=0. A condição Jv=0 significa que as componentes de v=(x,y,z) satisfazem x+y+z=0. Portanto o autoespaço correspondente a \lambda=1 é
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y+z=0\},
que tem dimensão 2. Exemplos de base desse espaço são (1,-1,0) e (1,0,-1).
ou seja Jv=3v. Isso significa que v é um múltiplo do vetor cujas componentes são todas iguais, isto é v é proporcional a (1,1,1). Logo o autoespaço associado a \lambda=-1 é
\operatorname{span}\{(1,1,1)\},
de dimensão 1.
Passo 6
Resumo interpretativo e confirmação de multiplicidades:
A reflexão em um plano em \mathbb{R}^3 sempre tem autovalor 1 com multiplicidade 2 (direções do próprio plano) e autovalor -1 com multiplicidade 1 (direção normal ao plano). Aqui o plano é \{x+y+z=0\} e a normal é (1,1,1), portanto os resultados concretos batem com a intuição geométrica e com as contas matriciais anteriores.
Resposta
\lambda=1 com autoespaço \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y+z=0\}=\operatorname{span}\{(1,-1,0),(1,0,-1)\} \lambda=-1 com autoespaço \operatorname{span}\{(1,1,1)\}