Considere a reflexão R com relação ao plano de equação " x+y+z=0 ". Quais são os autovalores e autoespaços correspondentes?

Passo 1

O enunciado dá uma reflexão linear R em \mathbb{R}^3 em relação ao plano de equação x+y+z=0. As perguntas são:
  • Quais são os autovalores (valores próprios) de R?
  • Quais são os autoespaços (espaços próprios) correspondentes a cada autovalor?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O plano de reflexão é o conjunto \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y+z=0\}.
  • A normal ao plano (vetor perpendicular ao plano) é n=(1,1,1) (pode ser usado sem normalizar).
  • A transformação R é a reflexão em relação a esse plano (isto é, pontos do plano ficam fixos, e a componente na direção normal é invertida).

Passo 2

Ideia útil (decomposição ortogonal e fórmula da reflexão). Qualquer vetor v\in\mathbb{R}^3 pode ser decomposto em parcela paralela ao plano e parcela perpendicular ao plano. Seja u o vetor normal unitário ao plano; então
v = v_{\parallel} + v_{\perp},
onde v_{\perp}=(v\cdot u)u é a projeção de v sobre u e v_{\parallel}=v-v_{\perp} é a componente no plano. A reflexão em relação ao plano deixa v_{\parallel} inalterado e troca o sinal de v_{\perp}. Logo a ação de R é
R(v)=v_{\parallel}-v_{\perp}=v-2v_{\perp}=v-2(v\cdot u)u.
Explicando as quantidades:
  • v é um vetor qualquer em \mathbb{R}^3.
  • u é o vetor normal unitário ao plano, isto é u=\dfrac{n}{\|n\|}.
  • v\cdot u é o produto escalar padrão em \mathbb{R}^3.
    Essa fórmula é a forma padrão da reflexão ortogonal em torno de um hiperplano.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: o vetor normal é n=(1,1,1). O vetor normal unitário é
u=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1).
Pela fórmula da reflexão,
R(v)=v-2(v\cdot u)u.
Verificações importantes (isso explica os autovalores intuitivamente):
  • Se v está no plano x+y+z=0 então v\cdot n=0. Como u é paralelo a n, tem-se v\cdot u=0. Então
R(v)=v-2\cdot 0\cdot u=v.
Logo todo vetor do plano é fixado por R: isto mostra que 1 é autovalor e o autoespaço associado contém o plano \{(x,y,z)\mid x+y+z=0\}.
  • Se v é paralelo a n, por exemplo v=n, então v\cdot u=\|n\|=\sqrt{3} e
R(n)=n-2\sqrt{3}\,u=n-2\sqrt{3}\frac{n}{\sqrt{3}}=n-2n=-n.
Logo vetores na direção de n são enviados para o seu negativo; isto mostra que -1 é autovalor e a direção de n é o autoespaço associado.

Passo 4

Construção explícita da matriz de R (checa e facilita ver os autovalores). Seja J a matriz 3\times3 cujas entradas são todas 1. Observa-se que
u u^{T}=\frac{1}{3}J.
Pela fórmula matricial R=I-2uu^{T} obtemos
R=I-\frac{2}{3}J.
Subtraindo termo a termo isso dá a matriz explícita (na base canônica):
R=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} & -\dfrac{2}{3} & -\dfrac{2}{3} \\\\ -\dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} & -\dfrac{2}{3} \\\\ -\dfrac{2}{3} & -\dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}.
Propriedades úteis dessa matriz:
  • Para qualquer v com x+y+z=0 (isto é, Jv=0) temos Rv=v.
  • Para n=(1,1,1) tem-se Jn=3n e assim Rn=n-\tfrac{2}{3}\cdot 3n=-n.

Passo 5

Determinar os autoespaços de forma algébrica.
  • Autovalor \lambda=1: resolver (R-I)v=0. Usando R=I-\tfrac{2}{3}J,
(R-I)v=\Big(I-\tfrac{2}{3}J-I\Big)v=-\tfrac{2}{3}Jv=0
o que é equivalente a Jv=0. A condição Jv=0 significa que as componentes de v=(x,y,z) satisfazem x+y+z=0. Portanto o autoespaço correspondente a \lambda=1 é
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y+z=0\},
que tem dimensão 2. Exemplos de base desse espaço são (1,-1,0) e (1,0,-1).
  • Autovalor \lambda=-1: resolver (R+I)v=0. Usando R=I-\tfrac{2}{3}J,
(R+I)v=\Big(I-\tfrac{2}{3}J+I\Big)v=2v-\tfrac{2}{3}Jv=0
ou seja Jv=3v. Isso significa que v é um múltiplo do vetor cujas componentes são todas iguais, isto é v é proporcional a (1,1,1). Logo o autoespaço associado a \lambda=-1 é
\operatorname{span}\{(1,1,1)\},
de dimensão 1.

Passo 6

Resumo interpretativo e confirmação de multiplicidades:
  • A reflexão em um plano em \mathbb{R}^3 sempre tem autovalor 1 com multiplicidade 2 (direções do próprio plano) e autovalor -1 com multiplicidade 1 (direção normal ao plano). Aqui o plano é \{x+y+z=0\} e a normal é (1,1,1), portanto os resultados concretos batem com a intuição geométrica e com as contas matriciais anteriores.

Resposta

\lambda=1 com autoespaço \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y+z=0\}=\operatorname{span}\{(1,-1,0),(1,0,-1)\}
\lambda=-1 com autoespaço \operatorname{span}\{(1,1,1)\}

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