Considere a região S de R^3 que está acima do plano x y, fora do cilindro x^2+y^2=1, dentro do cilindro x^2+y^2=9 e abaixo do cone x^2+y^2-z^2=0. Faça um esboço de S e calcule seu volume.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o volume da região $ S $ em 3D que está acima do plano $ xy $, fora do cilindro $ x{2}+y{2}=1 $, dentro do cilindro $ x{2}+y{2}=9 $ e abaixo do cone $ x{2}+y{2}=z^{2} $. Pra resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante quando lidamos com cilindros e cones.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região $ S $. Estar acima do plano $ xy $ significa que $ z \geq 0 $. Estar fora do cilindro $ x{2}+y{2}=1 $ e dentro do cilindro $ x{2}+y{2}=9 $ indica que o raio $ r $ varia de 1 a 3. Por fim, estar abaixo do cone $ x{2}+y{2}=z^{2} $ em coordenadas cilíndricas é $ r{2}=z{2} $, ou seja, $ z = r $.

Passo 3

Agora, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume. A fórmula geral é:
V = integraltheta=0^2pi integralr=1^3 integralz=0^r r , dz , dr , dtheta
Aqui, $ r $ é o fator que aparece no elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 4

Vamos resolver a integral em $ z $ primeiro:
z

Passo 5

Substituindo de volta na integral, temos:
V = integral0^2pi integral1^3 r^2 , dr , dtheta
Agora, resolvemos a integral em $ r $:
r

Passo 6

Por último, vamos integrar em $ \theta $:
theta

Resposta

O volume da região $ S $ é $ \frac{52\pi}{3} $ unidades cúbicas.

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