Considere a região
de
que está acima do plano
, fora do cilindro
, dentro do cilindro
e abaixo do cone
. Faça um esboço de
e calcule seu volume.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o volume da região $ S $ em 3D que está acima do plano $ xy $, fora do cilindro $ x{2}+y{2}=1 $, dentro do cilindro $ x{2}+y{2}=9 $ e abaixo do cone $ x{2}+y{2}=z^{2} $. Pra resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante quando lidamos com cilindros e cones.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região $ S $. Estar acima do plano $ xy $ significa que $ z \geq 0 $. Estar fora do cilindro $ x{2}+y{2}=1 $ e dentro do cilindro $ x{2}+y{2}=9 $ indica que o raio $ r $ varia de 1 a 3. Por fim, estar abaixo do cone $ x{2}+y{2}=z^{2} $ em coordenadas cilíndricas é $ r{2}=z{2} $, ou seja, $ z = r $.
Passo 3
Agora, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume. A fórmula geral é:
Aqui, $ r $ é o fator que aparece no elemento de volume em coordenadas cilíndricas.
Passo 4
Vamos resolver a integral em $ z $ primeiro:
Passo 5
Substituindo de volta na integral, temos:
Agora, resolvemos a integral em $ r $:
Passo 6
Por último, vamos integrar em $ \theta $:
Resposta
O volume da região $ S $ é $ \frac{52\pi}{3} $ unidades cúbicas.