Obtenha a decomposição LU da seguinte matriz mostrada abaixo. Verifique se o produto entre as matrizes LxU realmente é igual à matriz original A. Ainda utilizando o resultado da decomposição LU , resolva o sistema de equações lineares formado pela matriz A, no ítem (b).
a. A=[cccc4 & 1 & 1 & 1 1 & 3 & -1 & 1 1 & -1 & 2 & 0 1 & 1 & 0 & 2]

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a matriz A em LU (decomposição de Doolittle) e depois verificar L·U=A. Em seguida usar LU para resolver o sistema A x = b (item b), mas o vetor b não foi fornecido, então só faremos a parte (a).

Passo 2

Vamos aplicar o método de Doolittle, em que L tem 1 na diagonal principal e U copia os pivôs de A ajustados pelos múltiplos de L.

Passo 3

Começamos definindo u₁₁ = a₁₁ = 4 e então l₂₁ = a₂₁/u₁₁ = 1/4, l₃₁ = 1/4, l₄₁ = 1/4. Em seguida u₁₂ = a₁₂ = 1, u₁₃ = 1, u₁₄ = 1.

Passo 4

Calculamos o segundo pivô: u₂₂ = a₂₂ – l₂₁·u₁₂ = 3 – (1/4)·1 = 11/4. Depois u₂₃ = a₂₃ – l₂₁·u₁₃ = –1 – 1/4 = –5/4, e u₂₄ = a₂₄ – l₂₁·u₁₄ = 1 – 1/4 = 3/4.

Passo 5

Para elementos L da terceira linha: l₃₂ = (a₃₂ – l₃₁·u₁₂)/u₂₂ = (–1 – 1/4)/ (11/4) = –5/11. Então u₃₃ = a₃₃ – l₃₁·u₁₃ – l₃₂·u₂₃ = 2 – 1/4 – (–5/11)(–5/4) = 13/11, e u₃₄ = a₃₄ – l₃₁·u₁₄ – l₃₂·u₂₄ = 1/11.

Passo 6

Para a quarta linha: l₄₂ = (a₄₂ – l₄₁·u₁₂)/u₂₂ = (1 – 1/4)/(11/4) = 3/11; l₄₃ = (a₄₃ – l₄₁·u₁₃ – l₄₂·u₂₃)/u₃₃ = (0 – 1/4 – (3/11)(–5/4)) / (13/11) = 1/13; por fim u₄₄ = a₄₄ – l₄₁·u₁₄ – l₄₂·u₂₄ – l₄₃·u₃₄ = 20/13.

Passo 7

Multiplicando L·U confirma-se que volta a dar A. Como o vetor b do item (b) não foi fornecido, não há como resolver o sistema A x = b nessa parte.

Resposta

A decomposição LU (Doolittle) de A é
L = 1 & 0 & 0 & 0 [3pt] 1/4 & 1 & 0 & 0 [3pt] 1/4 & -5/11 & 1 & 0 [3pt] 1/4 & 3/11 & 1/13 & 1 ,
U = 4 & 1 & 1 & 1 [3pt] 0 & 11/4 & -5/4 & 3/4 [3pt] 0 & 0 & 13/11 & 1/11 [3pt] 0 & 0 & 0 & 20/13 .

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