Considere a região D limitada pelas retas
.
Calcule o valor da integral Dupla
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla
sobre a região
limitada pelas retas
,
e
. Vamos trabalhar com Cálculo Integral, especificamente com integrais duplas. Para isso, precisamos entender bem a região de integração e definir os limites das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Ela é delimitada por:
-
: uma reta que passa pela origem com inclinação 45°. -
: o eixo . -
: uma linha vertical que corta o eixo em 2.
Então,
é um triângulo com vértices em
,
e
. Entender esses limites é essencial para configurar nossa integral dupla corretamente.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Podemos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
ou vice-versa. Optaremos por integrar
primeiro. Para cada
entre 0 e 2,
varia de 0 até
. Então, a integral fica:
Aqui, estamos dizendo: para cada
de 0 a 2,
vai de 0 até
, e vamos integrar
dentro desses limites.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Como
é constante em relação a
, podemos tirar
para fora da integral:
A integral de
em relação a
é
, então:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Podemos tirar a constante
para fora:
A integral de
em relação a
é
, então:
Resposta
O valor da integral dupla
é 2.