Considere a região D limitada pelas retas y=x, y=0, x=2.
(1,0) Calcule o valor da integral Dupla integral duplaD x y d A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla sobre a região limitada pelas retas , e . Vamos trabalhar com Cálculo Integral, especificamente com integrais duplas. Para isso, precisamos entender bem a região de integração e definir os limites das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela é delimitada por:
  • : uma reta que passa pela origem com inclinação 45°.
  • : o eixo .
  • : uma linha vertical que corta o eixo em 2.
Então, é um triângulo com vértices em , e . Entender esses limites é essencial para configurar nossa integral dupla corretamente.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Podemos integrar primeiro em relação a integralx=0^2 ( integraly=0^x x y , dy ) dx e depois em relação a ou vice-versa. Optaremos por integrar primeiro. Para cada entre 0 e 2, varia de 0 até . Então, a integral fica:
Aqui, estamos dizendo: para cada de 0 a 2, vai de 0 até , e vamos integrar dentro desses limites.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^x x y , dy :
x integral0^x y , dy
Como x [ y^22 ]0^x = x ( x^22 - 0 ) = x^32 é constante em relação a , podemos tirar para fora da integral:
A integral de em relação a é , então:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^2 x^32 , dx
Podemos tirar a constante 12 integral0^2 x^3 , dx para fora:
12 [ x^44 ]0^2 = 12 ( 164 - 0 ) = 12 times 4 = 2
A integral de em relação a é , então:

Resposta

O valor da integral dupla é 2.

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