Use a Regra da Cadeia para achar d z d s e d z / d t.
z=e^x+2 y, x=s / t, y=t / s

Passo 1

O enunciado dá a função composta z = e^x + 2y com x = st e y = ts. Vamos usar Regra da Cadeia para calcular dzds e dzdt, precisando de derivadas parciais de z e derivadas de x,y em relação a s,t.

Passo 2

Como z = e^x + 2y, calculamos as derivadas parciais:
partial zpartial x = e^x + 2y,
partial zpartial y = 2,e^x + 2y

Passo 3

Derivadas de x = tfracst:
partial xpartial s = 1t,
partial xpartial t = -st^2

Passo 4

Derivadas de y = tfracts:
partial ypartial s = -ts^2,
partial ypartial t = 1s

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia para dzds:
dzds = partial zpartial xpartial xpartial s + partial zpartial ypartial ypartial s = e^x + 2ycdot1t + 2e^x + 2ycdotl(-ts^2r) = e^x + 2yl(1t - 2ts^2r)

Passo 6

Aplicando a Regra da Cadeia para dzdt:
dzdt = partial zpartial xpartial xpartial t + partial zpartial ypartial ypartial t = e^x + 2ycdotl(-st^2r) + 2e^x + 2ycdot1s = e^x + 2yl(-st^2 + 2sr)

Resposta

dzds = e^st+2tsl(1t-2ts^2r), dzdt = e^st+2tsl(-st^2+2sr)

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