Suponha que a lâmina ocupe uma região R limitada pelas retas e que tenha como função densidade . Calcule a massa total da lâmina.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma lâmina que ocupa uma região delimitada pelas retas , e . A função densidade dessa lâmina é dada por . Nosso objetivo aqui é calcular a massa total dessa lâmina.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integrais duplas, que nos permite calcular a massa total de uma região contínua quando temos a função densidade. Vamos dividir a resolução em passos para facilitar o entendimento.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a região onde vamos calcular a massa. As retas que delimitam são:
(eixo y)
(eixo x)
(uma reta que desce de (0,1) a (1,0))
Essa é uma região triangular no primeiro quadrante do plano xy.
Passo 3
Agora, vamos configurar os limites de integração para a integral dupla. Observando a região triangular, podemos integrar em relação a primeiro e depois em relação a .
Para variando de 0 a 1, varia de 0 até . Então, os limites são:
vai de 0 a 1
Para cada , vai de 0 a
Passo 4
A próxima etapa é montar a integral dupla que representa a massa total da lâmina. A fórmula para a massa é:
Substituindo a função densidade e os limites que encontramos:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Isso pode ser separado em duas integrais:
Calculando cada uma:
Somando as duas partes:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa: