Suponha que a lâmina ocupe uma região R limitada pelas retas x=0, y=0 e y=1-x que tenha como função densidade rho(x, y)=x+y.
(1,0) Calcule a massa total da lâmina.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma lâmina que ocupa uma região delimitada pelas retas , e . A função densidade dessa lâmina é dada por . Nosso objetivo aqui é calcular a massa total dessa lâmina.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integrais duplas, que nos permite calcular a massa total de uma região contínua quando temos a função densidade. Vamos dividir a resolução em passos para facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a região onde vamos calcular a massa. As retas que delimitam são:
  • (eixo y)
  • (eixo x)
  • (uma reta que desce de (0,1) a (1,0))
Essa é uma região triangular no primeiro quadrante do plano xy.

Passo 3

Agora, vamos configurar os limites de integração para a integral dupla. Observando a região triangular, podemos integrar em relação a primeiro e depois em relação a .
Para variando de 0 a 1, varia de 0 até . Então, os limites são:
  • vai de 0 a 1
  • Para cada , vai de 0 a

Passo 4

A próxima etapa é montar a integral dupla que representa a massa total M = integral duplaR rho(x, y) , dA da lâmina. A fórmula para a massa é:
M = integral0^1 integral0^1 - x (x + y) , dy , dx
Substituindo a função densidade e os limites que encontramos:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^1 - x (x + y) , dy :
integral0^1 - x x , dy + integral0^1 - x y , dy
Isso pode ser separado em duas integrais:
x(1 - x) + 12 (1 - x)^2 = x - x^2 + 12(1 - 2x + x^2)
Calculando cada uma:
  1. x - x^2 + 12 - x + 12x^2 = 12 - 12x^2
Somando as duas partes:
Simplificando:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
M = integral0^1 ( 12 - 12x^2 ) dx
Vamos integrar termo a termo:
integral0^1 12 , dx - integral0^1 12x^2 , dx
Calculando cada parte:
  1. 12 - 16 = 36 - 16 = 26 = 13
Subtraindo as duas partes:

Resposta

A massa total da lâmina é unidades de massa.

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