Considere a região
.
Calcule a integral
Passo 1
O enunciado dá a região
e pede para calcular a integral dupla
Informações relevantes:
- Os limites em
vão de a . - Para cada
fixo, varia de até . - A função a integrar é
.
A pergunta é: qual é o valor numérico de?
Passo 2
Decidindo como calcular: vamos transformar a integral dupla em uma integral iterada. Isso significa integrar primeiro em relação a
(porque os limites de
dependem de
) e depois em relação a
. Eu escolhi essa ordem
porque a descrição da região já dá
em função de
de forma direta, então fica simples montar os limites e fazer a integração.
Passo 3
Escrevendo a integral iterada com os limites indicados:
Aqui cada símbolo significa:
-
é a função integranda; -
indica que estamos integrando em relação a na integral interna; - os limites internos
e vêm da definição de ; - a integral externa integra em
de a .
Passo 4
Calculemos a integral interna em
. Lembre que para integrar uma função do tipo
em
, tratamos
como constante. A primitiva em relação a
de
é:
porque
(já que
é constante em
) e
.
Agora avaliamo-la entre e
:
Agora avaliamo-la entre
Passo 5
Simplificando a expressão obtida no passo anterior passo a passo:
Calcule o primeiro parêntese:
Calcule o primeiro parêntese:
Colocando em denominador comum
:
logo
Calcule o segundo parêntese:
Subtraindo:
Portanto a integral interna reduziu-se a
Passo 6
Agora integramos a expressão em
de
a
:
A primitiva de
em
é
porque
e
.
Passo 7
Avalie a primitiva nos limites
e
: