Considere a região D=\{(x, y) ; 0 \leq x \leq 2, x \leq y \leq x+1\}.
Calcule a integral I=\iint_{D}(2 x+y) d A

Passo 1

O enunciado dá a região
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\; x\le y\le x+1\}
e pede para calcular a integral dupla
I=\iint_{D}(2x+y)\,dA.
Informações relevantes:
  • Os limites em x vão de 0 a 2.
  • Para cada x fixo, y varia de y=x até y=x+1.
  • A função a integrar é f(x,y)=2x+y.
    A pergunta é: qual é o valor numérico de I?

Passo 2

Decidindo como calcular: vamos transformar a integral dupla em uma integral iterada. Isso significa integrar primeiro em relação a y (porque os limites de y dependem de x) e depois em relação a x. Eu escolhi essa ordem (dy\,dx) porque a descrição da região já dá y em função de x de forma direta, então fica simples montar os limites e fazer a integração.

Passo 3

Escrevendo a integral iterada com os limites indicados:
I=\int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=x}^{x+1}(2x+y)\,dy\right)dx.
Aqui cada símbolo significa:
  • (2x+y) é a função integranda;
  • dy indica que estamos integrando em relação a y na integral interna;
  • os limites internos y=x e y=x+1 vêm da definição de D;
  • a integral externa integra em x de 0 a 2.

Passo 4

Calculemos a integral interna em y. Lembre que para integrar uma função do tipo a(x)+y em y, tratamos x como constante. A primitiva em relação a y de (2x+y) é:
\int(2x+y)\,dy = 2x\,y + \frac{y^{2}}{2} + C,
porque \int 2x\,dy = 2x\,y (já que 2x é constante em y) e \int y\,dy = y^{2}/2.
Agora avaliamo-la entre y=x e y=x+1:
\begin{aligned} \int_{y=x}^{x+1}(2x+y)\,dy &= \left[2x\,y+\frac{y^{2}}{2}\right]_{y=x}^{y=x+1} \\\ &= \left(2x(x+1)+\frac{(x+1)^{2}}{2}\right) - \left(2x\cdot x + \frac{x^{2}}{2}\right). \end{aligned}

Passo 5

Simplificando a expressão obtida no passo anterior passo a passo:
Calcule o primeiro parêntese:
2x(x+1)+\frac{(x+1)^{2}}{2} = 2x^{2}+2x + \frac{x^{2}+2x+1}{2}.
Colocando em denominador comum 2:
2x^{2}+2x = \frac{4x^{2}+4x}{2},
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2x^{2}+2x + \frac{x^{2}+2x+1}{2} = \frac{4x^{2}+4x + x^{2}+2x+1}{2} = \frac{5x^{2}+6x+1}{2}.
Calcule o segundo parêntese:
2x\cdot x + \frac{x^{2}}{2} = 2x^{2} + \frac{x^{2}}{2} = \frac{4x^{2}+x^{2}}{2} = \frac{5x^{2}}{2}.
Subtraindo:
\frac{5x^{2}+6x+1}{2} - \frac{5x^{2}}{2} = \frac{6x+1}{2}.
Portanto a integral interna reduziu-se a
\int_{y=x}^{x+1}(2x+y)\,dy = \frac{6x+1}{2} = 3x + \frac{1}{2}.

Passo 6

Agora integramos a expressão em x de 0 a 2:
I=\int_{0}^{2}\left(3x+\frac{1}{2}\right)dx.
A primitiva de 3x+\tfrac{1}{2} em x é
\int\left(3x+\frac{1}{2}\right)dx = \frac{3}{2}x^{2} + \frac{1}{2}x + C,
porque \int 3x\,dx = \tfrac{3}{2}x^{2} e \int \tfrac{1}{2}\,dx = \tfrac{1}{2}x.

Passo 7

Avalie a primitiva nos limites 0 e 2:
\begin{aligned} I &= \left[\frac{3}{2}x^{2} + \frac{1}{2}x\right]_{0}^{2} \\\ &= \left(\frac{3}{2}\cdot 2^{2} + \frac{1}{2}\cdot 2\right) - \left(0\right) \\\ &= \frac{3}{2}\cdot 4 + 1 \\\ &= 6 + 1 \\\ &= 7. \end{aligned}

Resposta

\displaystyle I=7

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