Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Implicitamente devemos trabalhar no domínio onde a função está definida, ou seja
. - As derivadas parciais pedidas são
e .
Passo 2
O que é derivada parcial (explicação didática e intuitiva): a derivada parcial de
em relação a
mede a taxa de variação de
quando apenas
muda e
fica fixo; formalmente, para um ponto
,
Análogo, a derivada parcial em relação a
mede a variação quando apenas
varia e
fica fixo:
Na prática, muitas vezes é mais rápido usar a regra: ao derivar em relação a
tratamos
como constante; ao derivar em relação a
tratamos
como constante.
Passo 3
Cálculo de
usando a definição por limite (passo a passo):
Começamos com
Começamos com
Então
Agora fazemos o limite quando
:
desde que
. Intuição: como
é tratado como constante, a função é linear em
com coeficiente
.
Passo 4
Cálculo de
reescrevendo a função e aplicando regra de potência (passo a passo):
Reescrevemos
Reescrevemos
onde
. Ao derivar em relação a
tratamos
como constante, então
Usamos a regra de potência para derivar
:
. Aqui
, portanto
Substituindo,
Mais uma vez vale para
.
Passo 5
Pequena verificação numérica para fixar a ideia (exemplo concreto): escolha
. Então
Isso faz sentido: aumentar
um pouco aumenta
na razão
; aumentar
um pouco diminui
na razão
.
Passo 6
Observações finais importantes para a prova:
- Sempre lembrar do domínio:
. - Técnica rápida: para
tratar constante; para tratar constante. Reescrever frações como potências ajuda a aplicar a regra de potência sem erro. - Se quiser, você pode também derivar
por definição de limite, mas a técnica com potências é mais direta e menos trabalhosa em prova.