Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
f(x, y)=\frac{x}{y}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função \displaystyle f(x,y)=\frac{x}{y}. Informações relevantes fornecidas:
  • A função é \displaystyle f(x,y)=\frac{x}{y}.
  • Implicitamente devemos trabalhar no domínio onde a função está definida, ou seja \displaystyle y\neq 0.
  • As derivadas parciais pedidas são \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.

Passo 2

O que é derivada parcial (explicação didática e intuitiva): a derivada parcial de f em relação a x mede a taxa de variação de f quando apenas x muda e y fica fixo; formalmente, para um ponto (x,y),
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Análogo, a derivada parcial em relação a y mede a variação quando apenas y varia e x fica fixo:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Na prática, muitas vezes é mais rápido usar a regra: ao derivar em relação a x tratamos y como constante; ao derivar em relação a y tratamos x como constante.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} usando a definição por limite (passo a passo):
Começamos com
f(x+h,y)=\frac{x+h}{y}.
Então
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{\dfrac{x+h}{y}-\dfrac{x}{y}}{h}=\frac{\dfrac{h}{y}}{h}=\frac{1}{y}.
Agora fazemos o limite quando h\to 0:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{y}=\frac{1}{y},
desde que \displaystyle y\neq 0. Intuição: como y é tratado como constante, a função é linear em x com coeficiente 1/y.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} reescrevendo a função e aplicando regra de potência (passo a passo):
Reescrevemos
f(x,y)=x\cdot y^{-1},
onde \displaystyle y^{-1}=\frac{1}{y}. Ao derivar em relação a y tratamos x como constante, então
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x\cdot\frac{d}{dy}\bigl(y^{-1}\bigr).
Usamos a regra de potência para derivar y^{n}: \displaystyle \frac{d}{dy}y^{n}=n\,y^{n-1}. Aqui n=-1, portanto
\frac{d}{dy}\bigl(y^{-1}\bigr)=-1\cdot y^{-2}=-y^{-2}.
Substituindo,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x\cdot\bigl(-y^{-2}\bigr)=-\frac{x}{y^{2}}.
Mais uma vez vale para \displaystyle y\neq 0.

Passo 5

Pequena verificação numérica para fixar a ideia (exemplo concreto): escolha (x,y)=(2,3). Então
\frac{\partial f}{\partial x}(2,3)=\frac{1}{3},
\frac{\partial f}{\partial y}(2,3)=-\frac{2}{9}.
Isso faz sentido: aumentar x um pouco aumenta f na razão 1/3; aumentar y um pouco diminui f na razão 2/9.

Passo 6

Observações finais importantes para a prova:
  • Sempre lembrar do domínio: \displaystyle y\neq 0.
  • Técnica rápida: para \partial/\partial x tratar y constante; para \partial/\partial y tratar x constante. Reescrever frações como potências ajuda a aplicar a regra de potência sem erro.
  • Se quiser, você pode também derivar \partial f/\partial y por definição de limite, mas a técnica com potências é mais direta e menos trabalhosa em prova.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{y}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\frac{x}{y^{2}}

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