Considere a região D delimitada pelas curvas 3 x-y=-6,-6 x+11 y=-42 e -6 x-7 y=-42.
© Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao girarmos a região D em torno da reta reta y=-8.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região triangular D limitada pelas retas 3x−y=−6, −6x+11y=−42 e −6x−7y=−42 em torno da reta y=−8. Vamos usar a teoria de cálculo de área de triângulo, localizar o centróide e aplicar o teorema de Pappus para volumes.

Passo 2

Para encontrar os vértices de D, resolvemos as interseções dos pares de retas:
Interseção de 3x−y=−6 com −6x+11y=−42: x=−4, y=−6.
Interseção de −6x+11y=−42 com −6x−7y=−42: x=7, y=0.
Interseção de −6x−7y=−42 com 3x−y=−6: x=0, y=6.
Logo, os vértices são A(−4,−6), B(7,0) e C(0,6).

Passo 3

Usamos a fórmula de área de triângulo por determinante:
Área = tfrac12l|xAyB + xByC + xCyA - (yAxB + yBxC + yCxA)r| = 54 Á

Passo 4

O centróide de um triângulo tem coordenadas médias dos vértices. Em particular,
ycentro = yA + yB + yC3 = -6 + 0 + 63 = 0

Passo 5

A distância do centróide à reta y=−8 é
d = |ycentro - (-8)| = |0 + 8| = 8

Passo 6

Pelo teorema de Pappus, o volume é a área da região vezes o comprimento do caminho descrito pelo centróide:
V = Área times (2pi d) = 54 times (2pi cdot 8) = 864pi Á

Resposta

864pi

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