Considere a região
delimitada pelas curvas
e
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© Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao girarmos a região D em torno da reta reta
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© Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao girarmos a região D em torno da reta reta
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região triangular D limitada pelas retas 3x−y=−6, −6x+11y=−42 e −6x−7y=−42 em torno da reta y=−8. Vamos usar a teoria de cálculo de área de triângulo, localizar o centróide e aplicar o teorema de Pappus para volumes.
Passo 2
Para encontrar os vértices de D, resolvemos as interseções dos pares de retas:
Interseção de 3x−y=−6 com −6x+11y=−42: x=−4, y=−6.
Interseção de −6x+11y=−42 com −6x−7y=−42: x=7, y=0.
Interseção de −6x−7y=−42 com 3x−y=−6: x=0, y=6.
Logo, os vértices são A(−4,−6), B(7,0) e C(0,6).
Interseção de 3x−y=−6 com −6x+11y=−42: x=−4, y=−6.
Interseção de −6x+11y=−42 com −6x−7y=−42: x=7, y=0.
Interseção de −6x−7y=−42 com 3x−y=−6: x=0, y=6.
Logo, os vértices são A(−4,−6), B(7,0) e C(0,6).
Passo 3
Usamos a fórmula de área de triângulo por determinante:
Passo 4
O centróide de um triângulo tem coordenadas médias dos vértices. Em particular,
Passo 5
A distância do centróide à reta y=−8 é
Passo 6
Pelo teorema de Pappus, o volume é a área da região vezes o comprimento do caminho descrito pelo centróide: