Considere a região delimitada pelos gráficos de y=ln (x) e pela reta x=ln 2, y=0 e x=e.
Determine a área dessa região.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=ln(x), pelas retas verticais x=ln2 e x=e, e pela reta horizontal y=0. É um problema de cálculo de área entre curvas em função de x, então vamos usar a fórmula de área por integrais e a antiderivada de ln(x).

Passo 2

Fazendo um esboço rápido, vemos que y=ln(x) cruza y=0 em x=1. Para x<1 temos ln(x)<0 e para x>1 temos ln(x)>0. Como a região vai de x=ln2 até x=e, precisamos dividir a integral em dois trechos: de x=ln2 a x=1 (onde y=0 é topo) e de x=1 a x=e (onde y=ln(x) é topo).
Escrevemos a soma das duas integrais que dão a área:
Área = integralln2^1 l(0 - ln(x)r),dx + integral1^e l(ln(x) - 0r),dxÁ

Passo 3

Para calcular essas integrais, usamos a primitiva de ln(x):
integral ln(x),dx = xln(x) - x + C

Passo 4

Agora avaliamos separadamente:
$$\int_{\ln2}^{1} -\ln(x),dx = -\bigl[x\ln(x)-x\bigr]_{\ln2}^{1} = -\bigl((1\cdot0-1) - (\ln2,\ln(\ln2) - \ln2)\bigr)
= 1 + \ln2,\ln(\ln2) - \ln2$$
integralln2^1 -ln(x),dx = -l[xln(x)-xr]ln2^1 = -l((1cdot0-1) - (ln2,ln(ln2) - ln2)r) = 1 + ln2,ln(ln2) - ln2

Passo 5

Somando os dois resultados, obtemos a área da região.

Resposta

2 + ln2,ln(ln2) - ln2

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