Considere a região delimitada pelos gráficos de
e pela reta
e
.
Determine a área dessa região.
Determine a área dessa região.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
, pelas retas verticais
e
, e pela reta horizontal
. É um problema de cálculo de área entre curvas em função de
, então vamos usar a fórmula de área por integrais e a antiderivada de
.
Passo 2
Fazendo um esboço rápido, vemos que
cruza
em
. Para
temos
e para
temos
. Como a região vai de
até
, precisamos dividir a integral em dois trechos: de
a
(onde
é topo) e de
a
(onde
é topo).
Escrevemos a soma das duas integrais que dão a área:
Escrevemos a soma das duas integrais que dão a área:
Passo 3
Para calcular essas integrais, usamos a primitiva de
:
Passo 4
Agora avaliamos separadamente:
$$\int_{\ln2}^{1} -\ln(x),dx = -\bigl[x\ln(x)-x\bigr]_{\ln2}^{1} = -\bigl((1\cdot0-1) - (\ln2,\ln(\ln2) - \ln2)\bigr)
= 1 + \ln2,\ln(\ln2) - \ln2$$
Passo 5
Somando os dois resultados, obtemos a área da região.