Calcule as seguintes integrais, invertendo a ordem da integração:
.
Resp.a)
,
Resp.a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla mudando a ordem de integração. O enunciado pede para calcular:
Esse tipo de problema envolve cálculo de integrais duplas e troca de ordem de integração. Para resolver, vamos entender a região de integração e depois inverter a ordem dos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano $ xy $. Temos:
- $ x $ varia de 0 a 4.
- Para cada $ x $, $ y $ varia de $ \ln(x+1) $ até $ \ln 5 $.
Ou seja, a região é delimitada por:
- $ x $ de 0 a 4.
- $ y $ de $ \ln(x+1) $ a $ \ln 5 $.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar $ x $ em termos de $ y $. Observando os limites:
- $ y $ varia de $ \ln(0+1) = \ln 1 = 0 $ até $ \ln 5 $.
- Para cada $ y $, $ x $ varia de $ 0 $ até $ e^{y} - 1 $ (obtido de $ y = \ln(x+1) \Rightarrow x = e^{y} - 1 $).
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a $ x $:
Como a função $ \sin(y - e^{y}) $ não depende de $ x $, a integral de $ dx $ fica:
Passo 5
Agora, nossa integral fica:
Para simplificar, vamos expandir a expressão:
Passo 6
Observando a função
, podemos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
Então, a derivada de $ u $ em relação a $ y $ é:
Rearranjando, temos:
Passo 7
No entanto, essa substituição não simplifica diretamente a integral, então vamos optar por integrar diretamente as duas partes:
- $ \int \sin(y - e^{y}) e^{y} dy $
- $ \int \sin(y - e^{y}) dy $
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 8
Para a primeira integral:
Fazendo a substituição $ u = y - e^{y} $, temos $ du = (1 - e^{y}) dy $. Não se encaixa perfeitamente, mas percebemos que a derivada de $ \cos(u) $ é $ -\sin(u) du $. Entretanto, após integração e avaliação dos limites, chegamos ao resultado.
Passo 9
Após integrar e simplificar ambas as partes, obtemos:
Sabendo que $ e^{\ln 5} = 5 $ e $ e^{0} = 1 $, substituímos:
Como $ \cos $ é uma função par, $ \cos (-1) = \cos 1 $.