Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial
l t(t-4) y^prime prime-3 t y+4 t=2 y(5)=0 y^prime(5)=-1
certamente possui uma única solução duas vezes diferenciável
Escolha uma opção:
0
4
Nenhuma das demais alternativas
-infty
2
0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o maior intervalo onde o problema de valor inicial fornecido tem uma solução única e duas vezes diferenciável. Isso envolve entender equações diferenciais e as condições necessárias para garantir uma solução única. Vamos precisar analisar os coeficientes da equação diferencial e identificar onde eles são bem comportados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial dada:
t(t-4) y'' - 3 t y' + 4 t = 2
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para garantir que exista uma solução única, precisamos que os coeficientes da equação sejam contínuos no intervalo considerado e que o coeficiente de $ y’’ $ não seja zero.

Passo 3

Vamos reescrever a equação na forma padrão:
y'' + P(t) y' + Q(t) y = G(t)
Dividindo todos os termos por $ t(t-4) $:
t(t-4)
Aqui, $ P(t) = -\frac{3}{t-4} $, $ Q(t) = \frac{4}{t-4} $ e $ G(t) = \frac{2}{t(t-4)} $.

Passo 4

Agora, precisamos verificar onde esses coeficientes são contínuos. Olhando para $ P(t) $ e $ Q(t) $, vemos que eles têm denominadores $ t-4 $ e $ t $. Isso significa que eles serão descontinuados em $ t = 4 $ e $ t = 0 $.

Passo 5

Esses pontos, $ t = 0 $ e $ t = 4 $, são chamados de pontos singulares. Para garantir uma solução única e bem comportada, nosso intervalo de interesse não deve incluir esses pontos. Além disso, como as condições iniciais estão em $ t = 5 $, precisamos escolher um intervalo que inclua esse ponto.

Passo 6

O intervalo que inclui $ t = 5 $ e não cruza os pontos singulares $ t = 0 $ e $ t = 4 $ é $ 4 < t < \infty $. Nesse intervalo, todos os coeficientes são contínuos e o coeficiente de $ y’’ $ não é zero, garantindo a existência e unicidade da solução.

Resposta

A solução única e duas vezes diferenciável existe no intervalo 4 < t < infty.

Exercícios relacionados