Considere a região E delimitada inferiormente pelo cone z=raizx^2+y^2 e superiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=16. Utilize integrais triplas para calcular o volume de E.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma região $ E $ que é limitada por duas superfícies: embaixo, um cone dado por $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $, e em cima, uma esfera com equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 16 $. Nosso objetivo é calcular o volume dessa região usando integrais triplas.
Para resolver isso, a gente vai precisar entender como configurar uma integral tripla em coordenadas esféricas, porque as geometria do problema (cone e esfera) se encaixa bem nesse sistema de coordenadas. Então, vamos usar fórmulas de mudança de coordenadas para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações do cone e da esfera para coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são definidas por:
x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi
Onde:
  • $ \rho $ é a distância do ponto à origem,
  • $ \phi $ é o ângulo com o eixo z,
  • $ \theta $ é o ângulo no plano xy.
A esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 16 $ se simplifica para $ \rho = 4 $, porque $ \rho^2 = 16 $.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Substituindo as coordenadas esféricas:
z = raizx^2 + y^2
Simplificando:
rho cosphi = raiz(rho sinphi costheta)^2 + (rho sinphi sintheta)^2 = rho sinphi
Então, o cone corresponde a $ \phi = \frac{\pi}{4} $.

Passo 4

Com isso, já temos os limites para as variáveis em coordenadas esféricas:
  • $ \rho $ varia de 0 a 4 (raio da esfera),
  • $ \phi $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{4} $ (do eixo z até o cone),
  • $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $ (círculo completo no plano xy).
A integral tripla para calcular o volume será:
rho
Aqui, $ \rho^{2} \sin\phi $ é o elemento de volume em coordenadas esféricas.

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ \rho $:
rho
Então, a integral fica:
integral0^4 rho^2 drho = [ rho^33 ]0^4 = 643

Passo 6

Agora, integramos em relação a $ \phi $:
phi
Substituindo na integral:
integral0^pi4 sinphi , dphi = [ -cosphi ]0^pi4 = -cos(pi4) + cos(0) = -raiz22 + 1 = 1 - raiz22

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a $ \theta $:
theta
Então, o volume é:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Resposta

O volume da região $ E $ é:
E ú

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