Considere a região
delimitada inferiormente pelo cone
e superiormente pela esfera
. Utilize integrais triplas para calcular o volume de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma região $ E $ que é limitada por duas superfícies: embaixo, um cone dado por $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $, e em cima, uma esfera com equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 16 $. Nosso objetivo é calcular o volume dessa região usando integrais triplas.
Para resolver isso, a gente vai precisar entender como configurar uma integral tripla em coordenadas esféricas, porque as geometria do problema (cone e esfera) se encaixa bem nesse sistema de coordenadas. Então, vamos usar fórmulas de mudança de coordenadas para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações do cone e da esfera para coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são definidas por:
Onde:
- $ \rho $ é a distância do ponto à origem,
- $ \phi $ é o ângulo com o eixo z,
- $ \theta $ é o ângulo no plano xy.
A esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 16 $ se simplifica para $ \rho = 4 $, porque $ \rho^2 = 16 $.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Substituindo as coordenadas esféricas:
Simplificando:
Então, o cone corresponde a $ \phi = \frac{\pi}{4} $.
Passo 4
Com isso, já temos os limites para as variáveis em coordenadas esféricas:
- $ \rho $ varia de 0 a 4 (raio da esfera),
- $ \phi $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{4} $ (do eixo z até o cone),
- $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $ (círculo completo no plano xy).
A integral tripla para calcular o volume será:
Aqui, $ \rho^{2} \sin\phi $ é o elemento de volume em coordenadas esféricas.
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ \rho $:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a $ \phi $:
Substituindo na integral:
Passo 7
Finalmente, integramos em relação a $ \theta $:
Então, o volume é:
Resposta
O volume da região $ E $ é: