raiz[3]8+x+raiz[3]8-x=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação raiz[3]8+x+raiz[3]8-x=1. O conteúdo aqui é resolução de equações que envolvem raízes cúbicas, e vamos precisar usar a técnica de substituição e a propriedade de cubar uma soma.

Passo 2

Definimos a=raiz[3]8+x e b=raiz[3]8-x. Com isso, a equação original fica a+b=1, e sabemos ainda que a^3=8+x e b^3=8-x.

Passo 3

Cubramos a soma a+b=1. Temos
(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) = 1^3 = 1
Como a^3+b^3=(8+x)+(8-x)=16 e a+b=1, segue
16 + 3ab = 1 Rightarrow ab = 1-163 = -5

Passo 4

Sabendo que ab=raiz[3](8+x)(8-x)=raiz[3]64 - x^2 = -5, vamos cubar ambos os lados:
64 - x^2 = (-5)^3 = -125 Rightarrow -x^2 = -125 - 64 = -189 Rightarrow x^2 = 189

Passo 5

Tirando raiz quadrada, obtemos as duas soluções reais:
x = pm raiz189 = pm 3raiz21
Como a raiz cúbica está bem definida para todos os reais, ambas as soluções satisfazem a equação original sem introduzir extraneous roots.

Resposta

x = \pm 3\sqrt{21}

Exercícios relacionados