Considere a região delimitada pelas seguintes curvas:
Faça um esboço do sólido obtido através da rotação dessa região em torno do eixo
e calcule seu volume.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas
,
(ou
) e
. Vamos usar o método de discos/aros para volume de revolução.
Passo 2
Primeiro determinamos os pontos de interseção das curvas: entre
e
há
; entre
e
há
; entre
e
resolvemos
que dá
, com raízes
e
. O ponto útil no primeiro quadrante é
.
Passo 3
O contorno da região vai de
a
, mas a “topologia" muda em
: para
a região fica entre as curvas
(inferior) e
(superior), gerando ao girar um aro oco; para
a região fica entre
e
, gerando um disco maciço.
Passo 4
No trecho
a área do corte perpendicular ao eixo x é a diferença de áreas de dois círculos: raio externo
e interno
. O volume parcial é
$$
V_1=
V_1=
\pi\bigl[(2-x)2-(x2)^2\bigr]dx
$$
Passo 5
No trecho
temos apenas um disco de raio
. Logo
$$
V_2=
V_2=
\pi(2-x)^2dx
$$
Passo 6
Agora calculamos cada integral:
Para :
Para
Passo 7
Para
:
Passo 8
Somando as partes temos
Passo 9
O esboço do sólido lembra um “copinho” que, de
a
, é oco (aro) e, de
a
, torna-se maciço (disco).