Considere a região delimitada pelas seguintes curvas:
y=x^2, x+y=2, y=0
Faça um esboço do sólido obtido através da rotação dessa região em torno do eixo x e calcule seu volume.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas y=x^2, x+y=2 (ou y=2-x) e y=0. Vamos usar o método de discos/aros para volume de revolução.

Passo 2

Primeiro determinamos os pontos de interseção das curvas: entre y=x^2 e y=0 (0,0); entre y=2-x e y=0 (2,0); entre y=x^2 e y=2-x resolvemos
x^2=2-x
que dá x^2+x-2=0, com raízes x=1 e x=-2. O ponto útil no primeiro quadrante é (1,1).

Passo 3

O contorno da região vai de x=0 a x=2, mas a “topologia" muda em x=1: para 0<= x<=1 a região fica entre as curvas y=x^2 (inferior) e y=2-x (superior), gerando ao girar um aro oco; para y=0 a região fica entre y=2-x e , gerando um disco maciço.

Passo 4

No trecho 0<= x<=1 a área do corte perpendicular ao eixo x é a diferença de áreas de dois círculos: raio externo R(x)=2-x e interno r(x)=x^2. O volume parcial é
$$
V_1=
\pi\bigl[(2-x)2-(x2)^2\bigr]dx
$$

Passo 5

No trecho 1<= x<=2 temos apenas um disco de raio R(x)=2-x. Logo
$$
V_2=
\pi(2-x)^2dx
$$

Passo 6

Agora calculamos cada integral:
Para V1:
V1=piintegral0^1l(4-4x+x^2-x^4r)dx =pil[4x-2x^2+tfracx^33-tfracx^55r]0^1 =pil(4-2+tfrac13-tfrac15r) =tfrac32pi15

Passo 7

Para V2:
V2=piintegral1^2(2-x)^2dx =pil[tfrac(2-x)^3-3r]1^2 =pil(0-(-tfrac13)r) =tfracpi3

Passo 8

Somando as partes temos
V=V1+V2=tfrac32pi15+tfracpi3=tfrac32pi15+tfrac5pi15=tfrac37pi15

Passo 9

O esboço do sólido lembra um “copinho” que, de x=0 a x=1, é oco (aro) e, de x=1 a x=2, torna-se maciço (disco).

Resposta

V=37pi15.

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