Resolva a EDO de Bernoulli dada por:
d yd x=y cdot(x y^3-1) resp.: y^-3=x+13+c e^3 x

Passo 1

Vamos resolver a EDO de Bernoulli dada por dydx=y,(x,y^3-1). O conteúdo aqui é equação de Bernoulli de grau n=4, e vamos precisar usar a transformação w=y^1-n para reduzir a uma equação linear.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a EDO na forma padrão de Bernoulli:
dydx+y = x,y^4
Aqui identificamos P(x)=1, Q(x)=x e n=4.

Passo 3

Agora fazemos a substituição w=y^1-n=y^-3. Calculamos
dwdx=(1-4)y^-4dydx=-3y^-4dydx

Passo 4

Isolamos dydx na EDO reescrita:
dydx=x,y^4 - y

Passo 5

Substituindo em dwdx=-3y^-4dydx obtemos:
dwdx=-3y^-4(x,y^4 - y)=-3x +3y^-3

Passo 6

Como y^-3=w, a equação vira linear:
dwdx-3w = -3x

Passo 7

Para resolver, usamos fator integrante mu(x)=e^-3x. Multiplicando:
ddxl(we^-3xr) = -3x e^-3x

Passo 8

Integramos ambos os lados:
we^-3x = integral -3x e^-3xdx + C

Passo 9

Fazendo integração por partes em integral x e^-3xdx, obtemos
we^-3x = e^-3xl(x+tfrac13r) + C

Passo 10

Multiplicando por e^3x e lembrando que w=y^-3, concluímos:
y^-3 = x + tfrac13 + C e^3x

Resposta

y^-3 = x + tfrac13 + C e^3x

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